3. (0). Модель водородоподобного атома по теории Бора.

Водородоподобный атом

Водородоподобным называется атом, имеющий один электрон в электронной оболочке. Это атом обычного (легкого) водорода, атом тяжелого водорода (дейтерия), сверхтяжелого водорода (трития), однократно ионизированный атом гелия, двухкратно ионизированный атом лития и т.д.

Теория Бора

Рассмотрим водородоподобный атом, т.е. систему из ядра с зарядом +Zeи одного электрона. ПриZ=1 это водород, приZ=2 – однократно ионизированный атом гелия, приZ=3 – двукратно ионизированный атом лития и т.д.). Предположим, что электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса rсо скоростьюv. Приравнивая кулоновскую силу и центробежную силу, находим: (3.1)

Второе соотношение, связывающее радиус орбиты электрона и его скорость дает правило квантования: (3.2)

Решая совместно уравнения (3.1) и (3.2), находим радиус орбиты электрона: (3.3)

Суммируя кинетическую и потенциальную энергию электрона, находим его полную энергию:

Водородоподобный атом

Итак, радиусn-ой стационарной орбиты и энергия электрона на этой орбите в водородоподобном атоме равны:

Например, для водородаr1 = 0.53 Å,E1 = - 13.6 эВ.

Постоянная Ридберга С учетом конечной массы ядраM

постоянная Ридберга точно совпадает с экспериментальным значением 109677,6 см-1

Таким образом, для водородоподобных атомов теория, основанная на постулатах Бора, дает результаты, с высокой точностью совпадающие с экспериментом. Более того, эта теория объясняет даже такой тонкий эффект, как изотопический сдвиг спектральных линий в спектре водородоподобных атомов. Однако попытки объяснить строение и свойства более сложных атомов (например, атома гелия с двумя электронами) приводят к неудаче. Теория Бора - это приближенная полуклассическая теория, промежуточный этап в истории создания квантовой физики. Однако благодаря своей простоте эта теория до сих пор используется в тех случаях, когда надо наглядно объяснить какое-либо явление или эффект и получить оценку характерных параметров задачи по порядку величины.

Схематическое изображение уровней энергии и переходов между ними в атоме водорода(рис6-7)

4. (0). Волновые свойства микрочастиц. Волны де-Бройля.

Оптико-механическая аналогия

Геометрическая Теоретическая механика

оптика

↑ ↑

Волновая Волновая (квантовая) механика

оптика

Геометрическая

оптика

Принцип наименьшего

времени Ферма

(Fermat P.)

Теоретическая механика

Принцип наименьшего

действия Мопертюи (MaupertuisP.)

Между этими двумя принципами имеется аналогия, если предположить, что где v- фазовая скорость волны.

Гипотеза де-Бройля

Де-Бройль (deBroglieL.) предположил, что коэффи-циент пропорциональности в формуле, связывающей импульс и фазовую скорость, такой же, как и для фотона, т.е. равенhn : или гдеn - линейная частота.

Это же соотношение можно записать в виде (4.1) где - волновое число, равное числу длин волн, укладывающихся на отрезок 2p.

Далее, движение материальной частицы характеризуется четырехмерным вектором энергии-импульса {iE/c, px, py, pz}, а плоская волна - совокупностью четырех величин {iw/c, kx, ky, kz}, которые также образуют четырехвектор. Поэтому коэффициент пропорциональности между энергией и частотой, согласно гипотезе де-Бройля, также должен быть таким же, как в оптике: (4.2)

где w -циклическая частота, связанная с линейной частотой соотношениемw = 2np.

Формулы (4.1) и (4.2) иногда называют уравнениями де Бройля.

Волны де-Бройля

Итак, согласно гипотезе де-Бройля (1924г), микрочастицы обладают волновыми свойствами. Длина волны микрочастицы (электрона, протона, нейтрона, альфа-частицы и др.) называетсядебройлевской длиной волныи определяетсяформулой де Бройля:(4.3) гдеh– постоянная Планка, р – импульс частицы.

Плоская волна с амплитудойА, частотойwи волновым векторомkможет быть представлена в комплексной форме в виде функции

(4.4)

Фазовой скоростью волны называется скорость, с которой движутся точки волны с постоянной фазой. Если ось xнаправлена по векторуp, то условие постоянства фазыEt - px = const.(4.5)

Чтобы вычислить фазовую скорость, надо продифференцировать это уравнение по времени.

Продифференцируем (4.5) по времени: откуда

(4.6) гдеv - скорость частицы, которая определяется групповой скоростью волн де-Бройля:

(4.7)

Из формулы (4.6) следует, что фазовая скорость волн де-Бройля всегда больше скорости света (т.к. скорость частицы vвсегда меньше скорости света). Это, однако, не противоречит теории относительности, т.к. фазовая скорость не характеризует ни скорость перемещения массы, ни скорость перемещения энергии.

Сравнивая (4.6) и (4.7), приходим к важному и универсальному соотношению между фазовой скоростью волн де-Бройля и скоростью частицы: vф×vг =с2 (4.8)

Гипотеза де-Бройля и правило квантования Бора

Пользуясь понятием дебройлевской длины волны, можно дать наглядное истолкование правилу квантования круговых орбит. Электрон обладает волновыми свойствами. Чтобы энергия волнового движения не распространялась в другие области (т.е. чтобы электрон при движении вокруг ядра не излучал энергию), волна должна быть стоячей.

На круговой орбите стоячая волна возникает, если на этой орбите уложится целое число длин волн де-Бройля: nl=2pr. Отсюда, учитывая, чтоl = h/mv,находим:L = mvr = nh/2p = nh,т.е. правило квантования.

Таким образом, 1-ый постулат Бора – логическое следствие волновой природы электрона.