Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц
4. (0). Волновые свойства микрочастиц. Волны де-Бройля.
Оптико-механическая аналогия 
Геометрическая |
Теоретическая |
оптика |
механика |
0 |
? |
Волновая |
Волновая |
оптика |
(квантовая) |
|
механика |
Оптико-механическая аналогия
Геометрическая |
Теоретическая |
оптика |
механика |
Принцип наименьшего |
Принцип наименьшего |
времени Ферма |
действия Мопертюи |
(Fermat P.) |
(Maupertuis P.) |
B |
ds min |
B pds min |
|
v |
A |
A |
|
Между этими двумя принципами имеется аналогия, 
если предположить, что
p : 1v
где v - фазовая скорость волны.
Гипотеза де-Бройля
Де-Бройль (de Broglie L.) предположил, что коэффи- циент пропорциональности в формуле, связываю- щей импульс и фазовую скорость, такой же, как и
для фотона, т.е. равен h p h h
v
где - линейная частота.
: |
h |
или |
|
|
p |
Это же соотношение можно записать в виде
|
|
p hk |
(4.1) |
|
|
|
|
где k |
2 |
- волновое число, равное числу длин |
|
|
|
|
|
волн, укладывающихся на отрезок 2 . |
|
||
Далее, движение материальной частицы характери- зуется четырехмерным вектором энергии-импуль- са {iE/c, px, py, pz}, а плоская волна - совокупнос-
тью четырех величин {i /c, kx, ky, kz}, которые также образуют четырехвектор. Поэтому коэффи- циент пропорциональности между энергией и час- тотой, согласно гипотезе де-Бройля, также дол- жен быть таким же, как в оптике:
E h |
(4.2) |
где - циклическая частота, связанная с линейной частотой соотношением = 2 . 
Формулы (4.1) и (4.2) иногда называют уравнениями де Бройля. 
Волны де-Бройля
Итак, согласно гипотезе де-Бройля (1924г), микро- частицы обладают волновыми свойствами. Дли- на волны микрочастицы (электрона, протона,
нейтрона, альфа-частицы и др.) называется
дебройлевской длиной волны и определяет- ся формулой де Бройля:
|
h |
h |
|
p |
mv |
(4.3) |
|
|
|
|
где h – постоянная Планка, р – импульс частицы.
Плоская волна с амплитудой А, частотой и вол-
новым вектором k может быть представлена в комплексной форме в виде функции i
r,t Ae i t k r Ae h Et p r
(4.4)
Фазовой скоростью волны называется скорость, с которой движутся точки волны с постоянной
фазой. Если ось x направлена по вектору p, то условие постоянства фазы
Et - px = const. |
(4.5) |
Чтобы вычислить фазовую скорость, надо про- дифференцировать это уравнение по времени.
Продифференцируем (4.5) по времени: |
|
||||||||||||
|
|
E p dx |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
откуда |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
vф |
E |
|
mc2 |
|
c2 |
c |
c |
(4.6) |
||||
dt |
p |
mv |
v |
v |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где v - скорость частицы, которая определяется |
|||||||||||||
групповой скоростью волн де-Бройля: |
|
||||||||||||
v d |
dE d |
c p2 m02c2 |
|
|
|||||||||
г |
dk |
dp |
|
|
|
dp |
|
|
|
|
(4.7) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
cp |
|
|
c2 p |
|
|
c |
2mv |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|||||
p2 |
m02c2 |
E |
|
mc2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из формулы (4.6) следует, что фазовая скорость волн де-Бройля всегда больше скорости света (т.к.
скорость частицы v всегда меньше скорости све- 
та). Это, однако, не противоречит теории относи- тельности, т.к. фазовая скорость не характеризует ни скорость перемещения массы, ни скорость пе- ремещения энергии.
Сравнивая (4.6) и (4.7), приходим к важному и уни- версальному соотношению между фазовой ско- 
ростью волн де-Бройля и скоростью частицы: 
vф vг = с2 |
(4.8) |
Гипотеза де-Бройля и правило квантования Бора
Пользуясь понятием дебройлевской длины волны, можно дать наглядное истолкова- ние правилу квантования круговых орбит. Электрон обладает волновыми свойства- ми. Чтобы энергия волнового движения не распространялась в другие области (т.е. 
чтобы электрон при движении вокруг ядра не излучал энергию), волна должна быть стоячей. 