Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц

7 (2). Соотношения неопределенности.

Принцип неопределенности

Наличие волновых свойств у микрочастиц вно- сит ограничения на применимость понятий клас- сической физики. Обратимся снова к оптико-ме- ханической аналогии. При переходе от геомет- рической оптики к волновой теряет смысл поня- тие луча. В классической механике понятию лу- ча соответствует понятие траектории, которое

теряет смысл при переходе к волновой механи- ке. Утверждение об отсутствии траекторий у

микрочастиц является содержанием принци- па неопределенности, лежащего в основе волновой (квантовой) механики.

Соотношения неопределенности

Математическим выражением принципа неопределенности являются соотношения неопределенности, полученные впервые Гейзенбергом (Heisenberg W., 1927 г):

x px , y py , z pz ,

где ∆x, ∆y ∆z и ∆px ∆py ∆pz –

неопределенности значений координаты и импульса микрочастицы.

Действительно, если бы частица имела одновременно определенное значение координаты и импульса, то в следующий момент времени она переместилась бы в определенную точку и т.д., т.е. двигалась бы по определенной траектории.

Таким образом, отсутствие траектории согласуется с утверждением, что частица не имеет одновременно определенных значений координаты и импульса.

Вывод соотношений неопределенности из эксперимента

Пусть на экран со щелью шири- ной a падает поток электронов

со скоростью Vz. Т.е. слева от экрана p = pz = mVz, px = py = 0, а координаты частицы неопре- деленны. В момент прохожде- ния щели частица находится

между ее краями, т.е. ее коор-

дината определена в преде- лах –a/2 < x < a/2, т.е. ∆x = a.

При этом опыт показывает, что поток за щелью не паралле- лен оси Z: на экране появляется дифракционная картина,

причем угловая ширина α главного дифракционного макси- мума равна sin(α)=λ /a.

Вывод соотношений неопределенности из эксперимента

Это означает, что после прохожде- ния щели компонента импульса px перестала быть определенной (равной нулю), и эта неопределен- ность ∆px равна

Если учесть максимумы более высоких порядков, то можно записать: ∆x·∆px = nh, (n = 2, 3 и т.д.), или

∆x·∆px ћ

Аналогичным образом можно получить соотношения и для координат y и z.

Соотношение неопределенности для энергии

Учитывая, что ∆p = F∆t и ∆E = F∆x, находим:

Здесь ∆E – неопределенность разности энер-

гий двух состояний: ∆E = ∆ (E2 – E1),

∆t – время, в течение которого реализуется пе- реход из одного состояния в другое (не про- должительность самого перехода, а отрезок времени, в течение которого переход имел место).

Ширина спектральных линий

Вкачестве примера рассмотрим вопрос о естест- венной ширине спектральных линий. Опыт пока-

завает, что излучаемые атомом кванты не име- ют строго определенной энергии. Разброс ∆E связан с временем жизни атома в возбужден-

ном состоянии. В основном состоянии атом жи-

вет бесконечно долго ( 0 = ∞), поэтому ширина уровня основного состояния равна нулю: ∆E0 =0. Во всех возбужденных состояниях атом беско- нечно долго находиться не может (обычно вре-

мя жизни 10-8 с), поэтому существует конечная

естественная ширина возбужденных уровней:

∆Ei = Γ ћ/τ.

Оценка размеров и энергии атома водорода

Спомощью соотношений неопределенности сде- лаем оценку размеров и энергии атома водоро- да. Согласно принципу неопределенности элек- трон не может упасть на ядро, т.к. в этом случае он имел бы одновременно определенную коор-

динату и скорость (импульс). По этой же причи- не невозможно точно указать положение элект- рона относительно ядра (иначе неопределен- ность его импульса станет бесконечной). Таким образом, существует разброс в расстояниях электрона от ядра, и определенная вероятность обнаружить электрон на любом расстоянии R.

Оценка размеров и энергии атома водорода

Оценим расстояние, на котором электрон может быть об- наружен с наибольшей вероятностью. Согласно соотно- шению неопределенности ∆p∆R ~ ћ. Расстояние извест- но с ошибкой ~R, поэтому импульс может быть опреде- лен с точностью порядка p ~ ћ/R. Кинетическая энергия