Добавил:

korayakov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

шпора1

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

17.04.2013

Размер:

438.27 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

1.Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений.

Разница между закономерными и случайными событиями.

Закономерное событие – это событие, которое всегда осуществляется, как только создаются определённые условия.

Закономерное явление – это система закономерных событий.

Случайные события – это события, которые при одних и тех же условиях иногда происходят, а иногда нет.

Однако случайные события подчиняются некоторым закономерностям, которые называются вероятностными закономерностями, при этом надо условится, что мы будем иметь дело не со всякими случайными событиями, а с массовыми, то есть будем предполагать, что в принципе можно создать много раз одни и те же условия, при каждом из которых могут произойти или нет некоторые случайные события.

Пусть при осуществлении некоторых условий (N раз), случайное событие A, будет осуществляться N(А) раз.

Число N(А) – называется частотой событий A, а отношение – относительной частотой события А.

Если N велико, относительная частота для случайных массовых событий обладает свойством устойчивости.

Пример.

– серия испытаний.

– относительная частота испытаний.

  … 

Относительная частота колеблется около определенного числа, которое характеризует данное случайное событие.

Р(А) – вероятность события А.

Примеры.

1)Пусть случайное событие A – выпадение герба при одном подбрасывании симметричной однородной монеты.

Р(А) = – вероятность выпадения герба.

1)Статистика рождений показывает, что мальчиков рождается несколько больше, чем девочек. Доля рождения мальчиков 0,51-0,52.

Р(А) = 0,51; 0,51 – вероятность рождения мальчиков.

События

Достоверное событие – событие, которое всегда происходит ().

Невозможное событие – событие, которое не происходит никогда ().

Событие – событие противоположное событию A.

происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A.

Суммой событий A и B называется событие A+B, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит или A, или B, или оба вместе.

Произведением событий A и B называется событие AB, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят A и B вместе.

Разностью событий A и B называется событие A-B, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит A и не происходит B.

События A и B несовместны, если AB=.

Событие A влечет за собой событие B, если из наступления события A следует наступление события B (A  B).

События A и B называются равносильными A=B, если выполняются одновременно два включения

и .

Пример.

Бросается игральная кость.

A = {выпадает четное число очков}

B = {выпало число очков, не большее трех}

Решение.

Выпало число очков отличное от 5 (A+B).

Выпала 2 (AB).

Выпало число очков равное 4 или 6 (A-B).

Выпадает нечетное число очков (Ā).

5,6..Размещения и сочетания

Набор элементов xi₁, xi₂, …, xi_n из множества называется выборкой объема r из n-элементов <n, r>-выборка.

Выборка называется упорядоченной, если порядок следования элементов в ней задан.

Замечание

Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются различными.

Если порядок следования элементов не является существенным, то выборка называется неупорядоченной.

В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов.

Упорядоченная <n, r>-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется <n, r>-размещением с повторениями.

Упорядоченная <n, r>-выборка элементы, которой попарно различны, называется <n, r>-размещением без повторений (<n, r>-размещением).

Замечание

<n, n>-размещения без повторений называются перестанов-ками множества .

Неупорядоченная <n, r>-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется <n, r>-сочетанием с повторениями.

Неупорядоченная <n, r>-выборка элементы, которой попарно различны, называется <n, r>-сочетанием без повторений (<n, r>-сочетанием).

Замечание

Любое <n, r>-сочетание можно рассматривать, как r-элемент-ное подмножество n-элементного множества.

Теорема 1

Доказательство:

Каждое <n,r>-размещение с повторениями является упорядоченной последовательностью длины r

Причем каждый элемент этой последовательности может быть выбран n-способами.

По правилу произведения получаем

= .

Теорема 2.

Доказательство:

Каждое <n,r>-размещение без повторений является упорядоченной последовательностью длины r.

По правилу произведения получаем

.

Теорема 3.

Доказательство:

Каждое <r,r>-сочетание без повторений можно упорядочить r!-способами.

Объединение получаемых таким образом попарно непересекающихся множеств <n,r>-размещений без повторений для всевозможных <n,r>-сочетаний без повторений, даст все <n,r>-размещения без повторений.

(суммирование производится по всевозможным <n,r>-сочетаниям без повторений).

.

Теорема 4.

7. Геометрические вероятности

Геометрические вероятности – класс моделей вероятностных пространств, дающий геометрические вероятности.

Пусть Ω={ω} – ограниченное множество n-мерного евклидова пространства с конечным n-мерным объёмом.

Событиями назовём подмножества Ω, для которых можно определить n-мерный объём.

Для любого A  A положим

, где |V|-n-мерный объем множества V  A.

Это вероятностное пространство служит моделью задач, в которых частица случайно бросается в область Ω. Предполагается, что положение частицы равномерно распределено на множестве Ω, т. е. вероятность попадания частицы в подмножество A пропорциональна n-мерному объёму этой области.

Замечание.

В классе конечных вероятностных пространств в систему A входили все подмножества Ω. При геометрическом определении вероятности в качестве A уже нельзя взять все подмножества Ω, так как некоторые из них не имеют n-мерного объёма.

Примеры

1. Стержень разламывается на две части в случайной точке, равномерно распределённой по длине стержня. Найти вероятность того, что длина меньшего обломка окажется не больше трети длины всего стержня.

Обозначим за x расстояние от фиксированного конца стержня до точки излома.

, .

2.Задача Бюффона.

Плоскость расчерчена па-раллельными прямыми, расстоя-ние между которыми равно a. На плоскость наудачу брошена игла длины l (l<a). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-либо прямую.

Решение.

Пусть y – расстояние от центра иглы до ближайшей прямой , а x – ост-рый угол, составленный иглой с этой прямой . Пара чисел (x, y) задаёт положение иглы с точностью до выбора конкретной прямой.

– игла пересекает прямую.

2. Вероятностное пространство

Тройка (, A, P), где

 – это пространство элементарных событий;

A – -алгебра подмножеств , называемых событиями;

P – числовая функция, определенная на событиях и называемая вероятностью.

P называется вероятностным пространством, если выполнены следующие аксиомы:

A1. P(A)  0, A  A.

A2. P() = 1 (нормированность P).

A3. P(A+B)=P(A) + P(B), если AB= (аддитивность).

A4. Для любой убывающей последовательности

событий из A такой, что

имеет место равенство (непрерывность P).

Замечания.

Аксиомы 3, 4 можно заменить одной аксиомой -адди-тивности.

3*. Если события A_n в последовательности A₁, A₂, … попарно несовместны, то

Из этих аксиом вытекают следующие свойства.

Свойства вероятностей

Если A  B, то вероятность P(B–A) = P(B) – P(A).

Доказательство:

Разобьем событие B в сумму несовместных событий

B=A+(B-A)

A(B-A)=

P(B) = P(A+(B-A))=P(A)+P(B-A) (по аксиоме 3)

P(B-A)=P(B) - P(A)  .

Если A  B, то P(A)  P(B)

Доказательство:

Доказательство следует из 1 свойства и аксиомы 1.

P(A) + P(B-A) = P(B)

P(B-A)  0, следовательно P(A)  P(B) .

A  A  0  P(A)  1

Доказательство:

A    P(A)  P()

P() = 1 (по аксиоме 2)

P(A)  0, A  A (по аксиоме 1) .

P(Ā) = 1 - P(A)

Доказательство:

A+ Ā = 

A Ā = 

Тогда по аксиоме 3 и аксиоме 2 получаем

P(A+ Ā) = P(),

P(A) + P(Ā) = P(),

P(A) +P(Ā) = 1  P(Ā) = 1 - P(A) .

P() = 0

Доказательство:

 +  = 

Тогда по аксиоме 3 и 2 получаем,

P() + P() = P()  P() + 1 = 1, P() = 0 .

Теорема сложения

A, B  A

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Доказательство:

A + B = A + (B - AB), A(B - AB) = 

P(A+B) = P(A) + P(B - AB), но AB  B следовательно по первому свойству (вероятность от разности равна разности вероятностей).

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) .

3.Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности.

Рассмотрим случай конечного вероятностного пространства. В этом случае  состоит из конечного числа элементарных событий .

 = {}

A – алгебра всех подмножеств  (ввиду конечности вероятностного пространства алгебра автоматически является -алгеброй), тогда вероятность для любого подмножества задаем следующим образом.

Пусть заданы неотрицательные числа , которые удовлетворяют следующему требованию , тогда вероятность события (*) (способ введения вероятности на конечном вероятностном пространстве).

Очевидно, что так определенная вероятность вместе будет удовлетворять всем аксиомам.

Обозначим через – количество элементов в множестве .

Частным случаем определения вероятности по формуле (*) будет так называемое классическое определение вероятностей, когда все будут равны друг другу, так как

; – формула классической вероятности (**)

Замечание

Модель вероятностного пространства, приводящая к классическому определению вероятностей, когда элементарные события обладают свойствами «симметрии».

Пример.

Бросается кубик на стол.

₁ = {выпадает 1}

₂ = {выпадает 2} – свойства симметрии

9.Формула полной вероятности

Система событий называется конечным разбиением (разбиением) пространства , если они:

попарно несовместны, т.е. , если i  j.
.

Теорема (Формула полной вероятности)

Если – разбиение и все , то для всех событий B .

Доказательство:

Пример.

В урне находятся M-белых шаров и N-M-черных шаров. По схеме выборки без возвращения, последовательно выбираются два шара. Найти вероятность события B={второй вынутый шар белый}.

A = {первый шар белый}

= {первый шар черный}

Решение

A = 

A + = 

Пример показывает, что при правильно организованной жеребьевке шансы будут равны.

10.Формулы Байеса

Теорема. Если – разбиение и все , тогда имеет место следующая формула:

Доказательство:

По теореме умножения:

Формулы Байеса можно интерпретировать следующим образом: назовём – гипотезой, а – результат некоторого эксперимента, a – априорные вероятности, а условные вероятности – апостериорные вероятности (послеопыт-ные вероятности).

Формулы Байеса позволяют по априорным и условным вероятностям вычислить апостериорные вероятности гипотез.

Пример. Детали, изготовленные цехом завода, попадают к одному из двух контролёров для проверки на стандартность. Вероятность того, что деталь попадёт к первому контролёру – 0,6; ко второму контролёру, соответственно, – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной, для первого контролёра – 0,9; для второго – 0,98. Годная деталь была признана стандартной. Найти вероятность того, что её проверил первый контролёр.

Решение.

4.Основные правила комбиноторики.

Комбинаторика – это наука о том, сколько различных комбинаций удовлетворяющих условиям можно составить на элементах конечного множества.

Комбинаторные схемы

Правила суммы и произведения

Правило суммы

– конечное множество

– количество элементов.

Объект из может быть выбран n-способами. Пусть попарно непересекающиеся множества, то есть тогда очевидно выполняется равенство.

– правило суммы

Правило произведения

Если объект может быть выбран m-способами и после каждого из таких выборов объект может быть выбран n-способами.

Тогда выбор упорядоченной пары может быть осуществлен – mn способами.

Доказательство:

Воспользуемся правилом суммы.

– множество элементов, из которых выбирается объект .

, рассмотрим множество , тогда первая компонента совпадает с . Множества попарно не пересекаются.

Множество пар

В общем случае правило произведения формируется следующим образом:

Если объект может быть выбран – способами, после чего объект может быть выбран способами и , где после выбора объектов объект может быть выбран -способами, то выбор упорядоченной последовательности может быть осуществлен способами.

Доказательство проводится методом математической индукции.

Диаграммы Эйлера

В теории вероятностей очень распространенным является подход, в котором событие определяется через неопределяемые понятия элементарного события.

Наиболее употребительная теоретико-вероятностная модель – урновая модель.

Пусть имеется урна с N одинаковыми шарами. Испытание состоит в том, что из урны случайно выбирается один шар.

_n – множество шаров в урне.

Если мы из урны выбираем шар _i  A, где A – некоторое подмножество , то мы будем говорить, что произошло событие A.

Если _i  A, где A – некоторое подмножество , то мы будем говорить, что событие A не произошло.

 = {}

 – пространство элементарных событий.

 – элементарные события.

Замечания.

Операции суммы и произведения событий можно распространить на конечные и бесконечные множества событий.

В общем случае бесконечного пространства , мы будем брать не все подмножества  в отличие от конечного, а лишь некоторые классы этих подмножеств, называемые алгебрами и - алгебрами этих подмножеств.

Назовем класс A подмножеств пространств  алгеброй множеств, если

1)   A ,   A.

2) из A  A  Ā  A.

3) из A,B  A  A+B  A, AB  A.

Алгебра событий A называется -алгеброй или борелевской алгеброй, если из того, что A, n = 1,2,3,…, следует

11. Независимость событий

Если события A и B таковы, что

Определение. Событие A не зависит от события B, если

Если потребовать условия , то

Понятие того, что одно событие зависит от другого, симметрично.

Замечание.

Из теоремы умножения:

Это приводит к определению.

Определение. События A и B называются независимыми, если вероятность произведения событий равна произведению вероятностей событий . Если событие A не зависит от события B, то они являются просто независимыми. Если не выполняется, то события являются зависимыми.

– теоретико-вероятностная (статисти-ческая) независимость; её следует отличать от причинной независи-мости реальных явлений. Причинная независимость реальных явлений не устанавливается с помощью этого равенства, а постулируется на основе других внешних соображений. Определение.

Независимость событий в совокупности.

События называются независимыми, если , где , то выполняется:

В противном случае — события зависимы.

Замечание.Из определения независимости событий в совокупности следует, что события любого подмножества множества будут независимы в совокупности.

Пример. Имеются 4 числа: 2, 3, 5, 30. Наудачу выбирается одно число. Вероятность этого события – 0,25. .

Решение.

(в совокупности зависимы).

Совокупная независимость более сильное свойство, нежели попарная независимость.

Теорема. Если события являются независимыми, индексы – все различны, вероятность , тогда:

8.Условные вероятности; теорема умножения

N – число испытаний;

A, B, AB – события;

N(A), N(B), N(AB) – частоты событий;

– условная относительная частота события A при условии, что произошло событие B;

; ;

Если все относительные частоты событий устойчивы, тогда условная относительная частота тоже устойчива.

Пусть P(B)>0.

Условной вероятностью P(A|B) события A при условии, что событие B произошло, называется отношение .

P(A|B) = P_B(A) (встречается в литературе).

Теорема умножения

Если P(A)>0, P(B)>0, а P(A|B), то вероятность произведения .

Доказательство:

Доказательство следует из определения.

Пример

1 способ. В урне находятся M-белых шаров и N-M-черных шаров. По схеме выборки без возвращения, последовательно выбираются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

A = {1 вынутый шар белый}

B = {2 вынутый шар белый}

AB = {оба шара белых}