Шпаргалки / Шпаргалки (Бардушкин) / Шпаргалки в Word / Шпора9

41.Распределение ². (“хи-квадрат”).

Пусть , тогда –называется СВ распределенной по закону ² с k степенями свободны.

, .

Распределение ² определяется одним параметром числом степеней свободы. С увеличением степеней свободы распределение ² медленно приближается к нормальному.

На практике при k > 30 считают, что , где .

Для СВ, имеющей ² распределение существуют таблицы квантилей.

42.Распределение Стьюдента.

Пусть .

V– независимая от Z СВ, которая распределена по закону ² с k степенями свободы.

Рассмотрим СВ .

СВ Т имеет распределение, которое называется t–распределением или распределением Стьюдента с k степенями свободы.

t–распределение определяется одним параметром – числом степеней свободы.

С возрастанием числа степеней свободы t–распределение асимптотически (довольно быстро) приближается к стандартному нормальному распределению с параметрами (0; 1).

Для СВ, имеющих распределение Стьюдента, имеется таблица квантилей, причем в силу четности .

45. Теореме Чебышева. Теорема Бернулли. ЦПТ.

Теорема (Чебышева):Если – независимы и существует С > 0, такая что , К = 1, 2, …, n, тогда :

Доказательство:

Рассмотрим и применим к СВ второе неравенство Чебышева.

.

.

В силу аддитивного свойства дисперсии, получаем

,

.

Следствие: Если – независимы и одинаково распределены, т.е. , а , где k= 1, …, n, тогда

.

Замечание. Предельные утверждения, сформулированные в теореме Чебышева и следствии к этой теореме носят название закона больших чисел (ЗБЧ). ЗБЧ утверждает, что с вероятностью приближающейся при n к 1, среднее арифметическое независимых слагаемых при определенных условиях становятся близким к константе.

Из утверждения последнего следствия получаем ЗБЧ в схеме Бернулли.

Теорема (Бернулли): Пусть – число успехов при n независимых испытаниях с вероятностью 0 < p < 1 в каждом испытании, тогда :

.

Доказательство: Представим в виде суммы независимых СВ , где , или при i-ом испытании произошел успех и , если при i-ом испытании произошел неуспех.

.

Применяя следствие к теореме Чебышева, получаем утверждение к теореме Бернулли.

Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы (ЦПТ).

Известно, что нормально распределенные СВ широко распространены на практике, объяснение дал Ляпунов (ЦПТ).

Если СВ Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых СВ влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то СВ Х имеет распределение близкое к нормальному.

Приведем формулировку ЦПТ без доказательства.

Теорема(ЦПТ):Если СВ в последовательности , n = 1, 2, … независимы, одинаково распределены и имеют конечные , , то :

где – стандартизованное среднее арифметическое, n-независимых СВ в последовательности.

Замечание

Следствиями ЦПТ являются локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласса.

43. Распределение Фишера.

Если U и V независимые СВ, распределенные по закону ², , , тогда имеет распределение, которое называется F–распределением или распределением Фишера со степенями свободы k₁ и k₂. (

F–распределение определяется двумя параметрами k₁ и k₂ и существует таблица квантилей.

.

44. Неравенства Чебышева.

Следующие два неравенства называют неравенствами Чебышева. Сформулируем их в виде теорем.

Теорема: имеют место неравенства:

.

Доказательство:

Разложим в сумму двух слагаемых

,

так как x > 0, получаем

.

.

Замечание. Очень часто второе неравенство Чебышева дают в такой форме

.

Второе неравенство Чебышева показывает, что при малой дисперсии с вероятностью близкой к 1 СВ Х концентрируется около своего МО.