Лекция 10.

$2. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Закон больших чисел позволяет установить новую точку зрения на вероятность случайных событий и математическое ожидание случайной величины. Cуть закона больших чисел состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате множества таких явлений, случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном случае, в массе таких случаев почти всегда взаимно погашаются и выравниваются.

Для доказательства закона больших чисел нам потребуется

Лемма (неравенство Чебышева). Если существует M(X²), то для произвольного t > 0

В частности, если существует M(X), то

Доказательство. Пусть X – дискретная случайная величина.

где – значения случайной величины X.

Если X –непрерывная случайная величина с плотностью распределения f(x), то

Поделив эти неравенства на t², получим первое утверждение леммы.

Если первое неравенство леммы применить к случайной величине X – MX, то получится второе неравенство. 

Теорема 2. Закон больших чисел в форме Чебышева.

Пусть - последовательность взаимно-независимых одинаково распределенных случайных величин. Если m = M(X_k) и существуют, то для любого  > 0 при

Иначе говоря, вероятность того, что среднее случайных величин X₁, X₂,…., X_n будет отличаться от математического ожидания меньше, чем на произвольно заданное , cтремится к 1.

Доказательство. Т.к. X₁, X₂,…, X_n – взаимно-независимы,

Применим неравенство Чебышева к среднему

При правая часть стремится к 0, что и доказывает теорему. 

Замечание. C помощью неравенства Чебышева также легко доказать, что если задана бесконечная последовательность случайных величин X₁, X₂,…, X_n,…(X_i и X_j независимы для любых i и j), то для любого  > 0 при

(теорема Маркова) .

Пример 4. Петербургская игра.

Игрок платит взнос А рублей за участие в одной партии, состоящей из m подбрасываний монеты. Если первый раз герб выпадет при r-ом подбрасывании, r = 1, 2,…, m, игрок получает за партию 2^r рублей. Если m раз выпадает решка, игрок ничего не получает. При каком взносе А игру можно считать «неблагоприятной» для игорного заведения?

Пусть X_k – выигрыш в k-ой партии, k=1, 2,… .

Cредний выигрыш в k-ой партии и дисперсия выигрыша в k-ой партии конечна.

Выигрыш от участия в n партиях составит , а взнос за n партий – n*m рублей.

Согласно теореме 2,

т.е.

То есть почти всегда прибыль организаторов игры при взносе А=m мало отличается от нуля (в ту и другую сторону), если число сыгранных партий n велико.

Этот результат не зависит от того, постоянно число подбрасываний m в каждой партии или может меняться по желанию игроков. Согласно замечанию к теореме 2, при возрастании n суммарный выигрыш в n партиях стремится по вероятности к суммарному взносу за n партий, если взнос за k-ую партию равен числу подбрасываний монеты.

Таким образом, закон больших чисел позволяет в большинстве случаев расценивать математическое ожидание случайной величины, как среднее наблюдаемых значений случайной величины при большом числе реализаций.

Практический подход к вероятности случайного события обуславливает следствие из закона больших чисел

Теорема 3. Теорема Бернулли.

Частота наступления события А в серии из n независимых одинаковых испытаний (k/n) сходится по вероятности к вероятности события А в каждом испытании (р) при

Доказательство. Пусть X_i – число наступлений события А в i-том испытании.

Тогда число наступлений события А в n опытах

и частота наступления события А

Согласно теореме 2,



Замечание. Если вероятности наступления события А в серии из n испытаний меняются от опыта к опыту и равняются p_i, i = 1, 2,..., n, то при частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей p_i . Это сразу следует из замечания к теореме 2.

Пример 5. Появление пары (7,7) среди 100 пар случайных цифр должно подчиняться биномиальному распределению с n=100 и p=0,01. Еcли рассмотреть 100 групп по 100 пар, то N_k – число групп, в которых комбинация (7,7) встречается ровно k раз. Полученные частоты N_k/100 хорошо согласуются с теоретическими вероятностями, хотя число рассматриваемых групп 100 не является очень большим.

K	P(X = k)	Nk
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0,366032 0,369730 0,184865 0,060999 0,014942 0,002898 0,000463 0,000063 0,000007 0,000001	41 34 16 8 0 1 0 0 0 0



Изложение закона больших чисел завершает предлагаемый курс лекций по теории вероятностей и вместе с тем непосредственно подводит к изучению новой дисциплины – математической статистики. Различные формы закона больших чисел являются одним из основных инструментов, используемых в этой прикладной математической науке.

3