Лекции / Лекции (ЭТМО-2, Завьялова) / Глава 1

Лекция 1

Глава 1. CЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

$1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Возникновение теории вероятностей относят к XVII столетию и связывают с азартными играми. Именно азартные игры привели к задачам, которые не укладывались в рамки существовавших тогда математических моделей. Cвоим возникновением теория вероятностей обязана идеям таких великих математиков как Бернулли, Лаплас, Гаусс.

Развитие естествознания в начале XX столетия потребовало решения новых задач, которые и привели к развитию самостоятельного раздела математики – теории вероятностей.

Объектом теории вероятностей является случайность или неопределенность, как правило, связанная с нашим незнанием. Например, при подбрасывании монеты невозможно учесть все факторы, которые влияют на ее положение после падения. Поэтому целью теории вероятностей является раскрытие общих закономерностей, которые могли бы в удовлетворительной степени описывать происходящие явления. Если в классическом примере с подбрасыванием монеты результат отдельного эксперимента совершенно непредсказуем, средние результаты обнаруживают устойчивость.

В XVIII столетии Бюффон провел 4040 подбрасываний монеты, из них герб выпал 2048 раз (частота выпадения герба 0,508). Пирсон провел 24000 подбрасываний, герб выпал 12012 раз (частота 0,5005). Это явление имеет общий характер. Частота какого-либо исхода в последовательности повторяемых в одинаковых условиях экспериментов приближается к некоторому числу P. В случае с монетой это число P = 1/2.

Естественно было бы это число Р и принять за вероятность некоторого исхода. Но проблема заключается в том, что на практике мы имеем дело не со всей последовательностью частот, а только с конечным числом ее членов и, следовательно, не можем судить о ее пределе.

$2. ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ.

Под случайными событиями в теории вероятностей понимают события, которые в результате эксперимента могут произойти или не произойти. Cлучайными событиями являются, например, изменения валютных котировок на торгах; сбой в системе WINDOWS во время нашей работы в ней; два туза в прикупе при игре в преферанс и т.д.

Некоторые случайные события можно разложить на более простые. Например, выпадение четного числа очков на игральной кости включает в себя выпадение “2”,”4”и “6”, в то время как выпадение “2” уже ни на что разложить нельзя.

• Неразложимые (или их называют “элементарные”) cобытия относятся к неопределяемым понятиям в математике, как точка или прямая. Можно привести только их свойства:

• в результате опыта обязательно происходит одно из элементарных событий;

• элементарные события взаимно исключают друг друга, т.е. не могут наступить одновременно в одном эксперименте;

• каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить, произошло А или нет.

Элементарные события обычно обозначают греческой буквой  (омега) Их совокупность обозначают  (большой буквой омега) и называют пространством элементарных событий (исходов).

Пусть  - пространство элементарных событий некоторого эксперимента. Для любого события A в этом эксперименте можно выделить совокупность тех элементарных исходов, наступление которых влечет за собой наступление А. Совокупность таких элементарных исходов можно отождествить с событием А. Принадлежность  событию А обозначают

A.

Суммой событий А и В называют событие А + В (или А  В), состоящее из элементарных исходов, принадлежащих хотя бы одному из событий А или В.

Произведением АВ или (А  В) называют событие, состоящее из элементарных исходов, принадлежащих одновременно А и В.

Разность событий А и В соответствует множеству А – В (или А\В), состоящему из элементарных исходов, принадлежащих А и не принадлежащих В.

Все пространство  называют достоверным событием, пустое множество  - невозможным событием.

Дополнительным к событию А называют событие Ā =  –  А.

События А и В называют несовместными, если АВ = .

$3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

Пусть пространство  состоит из N элементарных исходов, и пусть все эти исходы равновозможны. В этом случае вероятность события A определяется формулой:

P(A) = N(A)/N,

где N(A) - число элементарных событий, которые приводят к наступлению события A.

Это и есть классическое определение вероятности.

Пример 1. Через остановку «Студенческая» проходят маршруты автобусов NN 1, 7, 10, 12, 19. До остановки “Дом культуры” можно доехать только автобусами NN 1, 7,10 и 19. Считая равновозможными приходы автобусов любого маршрута на остановку «Студенческая», определить вероятность того, что на первом подошедшем автобусе можно будет доехать до Дома культуры.

Пространство  состоит из 5 элементарных исходов, а благоприятных для нас только 4.

Следовательно, вероятность интересующего нас события 4/5.

Классическое определение вероятности нельзя применить, если число исходов в пространстве  не ограничено.

Применение классического определения также является некорректным, если элементарные исходы не являются равновозможными.

Пример 2. Парадокс де Мере.

Француз де Мере многократно наблюдал за игрой в кости. Он заметил, что при одновременном подбрасывании трех костей сумма очков, равная 11, выпадает чаще, чем сумма очков, равная 12. С его же точки зрения эти события были равновероятными, т.к. сумму “11” можно получить шестью способами: 6-4-1; 6-3-2; 5-5-1;5-4-2; 5-3-3; 4-4-3 и сумму “12” - тоже шестью способами: 6-5-1; 6-4-2; 6-3-3; 5-5-2; 4-4-4;3-5-4.

Проблему де Мере разрешил знаменитый Паскаль, который заметил, что указанные комбинации не являются равновероятными. Например, комбинация 6-4-1 выпадает, если наступают следующие элементарные события: (6,4,1), (6,1,4), (4,6,1), (4,1,6), (1,6,4), (1,4,6), а комбинацию 4-4-4 дает только один элементарный исход.

Как следует правильно посчитать вероятности в данном случае? Надо рассмотреть пространство элементарных событий  = {a, b ,c}, где a, b, c - число очков на первой, второй и третьей костях. Всего элементарных событий N = 6 * 6 * 6 = 216. Из них к событию A (сумма равна “11”) приводят 27 элементарных исходов, а событию к B (сумма равна ”12”) – только 25. Это и объясняет подмеченную де Мере закономерность. 

$4. НЕКОТОРЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ФОРМУЛЫ.

Как правило, подсчет вероятностей по классической формуле сводится к решению чисто комбинаторных задач. Приведем наиболее часто используемые комбинаторные формулы.

1. Число перестановок. Пусть n элементов а₁, a₂ ,…,а_n надо разместить по n позициям.

Сколькими способами это можно сделать? В первую позицию можно поместить любой из этих элементов (n различных вариантов), во вторую - любой из (n – 1) - ого оставшегося, для заполнения третьей позиции существует только (n – 2) варианта, и т.д. Общее число различных перестановок равняется n*(n – 1)*(n – 2)*…*1 = n!

2. Число размещений. Пусть теперь m элементов из n (m < n) надо разместить по m позициям.

Такие комбинации называются размещениями. Общее число размещений из n элементов по m обозначается и равняется n * (n – 1)*(n – 2)*…*(n –m + 1), т. к. существует n вариантов разместить элемент в первой позиции, (n – 1)- во второй,…, (n – m + 1) элемент- в m-ой позиции Итак,

3. Число сочетаний. Рассмотрим выборки из n элементов по m (m < n), отличающиеся только составом, без учета порядка, в котором они выбираются. Такие комбинации называются сочетаниями. А поскольку м элементов можно переставлять m! способами, общее число сочетаний C_n^m будет в m! раз меньше, чем общее число размещений.

4. Число размещений с повторениям. Будем теперь, выбирая элемент из n элементов, запоминать его номер, а элемент возвращать обратно. Комбинации, которые могут получиться при таком m-кратном выборе, называются размещениями с повторениями. Общее число размещений с повторениями обозначается Ã_n^m и, очевидно, равняется n^m .

5. Число сочетаний с повторениями. Выборку из n элементов по m с возвращением можно производить и без учета порядка, в котором элементы выбираются. Общее число получающихся при таком выборе сочетаний с повторениями Č_n^m = C_n+m-1^m .

Докажем эту формулу по индукции. При m = 2 существуют следующие сочетания с повторениями из n элементов:

(а_1,а₁),(а_1,а₂),(а_1,а₃)……………(а₁,а_n) n сочетаний

(а_2,а₂),(а_2,а₃)……………(а_2,а_n) (n – 1) cочетание

(а_3,а₃)……………(а_3,а_n) (n – 2) cочетания

……………………………………… ………………..

(а_n,а_n) 1 сочетание

Всего cочетаний с повторениями из n элементов по 2: n + (n – 1) + (n – – 2) +…+ 1 = (n + 1)*n/2 = C_n+1².

Предположим, формула Č_n^k = C_n+k-1^k верна при всех k от 2 до (m – 1), докажем ее для k = m.

При выборе m элементов из n c возвращением какие-то j позиций из m заняты элементами, которые встречаются первый раз, а m – j позиций - сочетаниями с повторениями из этих j элементов (по предположению индукции их Č_j^m - j = C_m – 1^m-j ) . Следовательно,

Č_n^m = Σ_j = 1^m C_n^j * C_{m - 1}^{m – j}.

Ecли рассмотреть сочетания без повторения из n + m – 1 элемента по m, то их столько же: на j позиций выбираются элементы из n, а на (m – j) позиций -из (m – 1), т.е.

C_{n + m – 1}^m = Σ_j = 1^m C_n^j * C_m – 1^{m – j}.

Поэтому, Č_n^m = C_{n + m – 1}^m. ♣

Пример 3. Рассмотрим игру в преферанс, когда старшие 32 карты карточной колоды сдаются по 10 трем игрокам, а две карты кладутся в “прикуп”. Какова вероятность, что в прикупе окажутся два туза?

Число различных комбинаций из двух карт, которые могут оказаться в прикупе, равно числу сочетаний С₃₂² = 32! / (2! * 30!) = 496. Эти сочетания и образуют пространство элементарных событий . В карточной колоде 4 туза. Число элементарных событий, дающих два туза, равно числу сочетаний С₄² = 4!/(2!*2!)=6. Вероятность двух тузов в прикупе Р(А) = 6/496 = 0,012…

6