Добавил:

korayakov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Лекция 21

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

17.04.2013

Размер:

199.17 Кб

Скачать

☆

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Лекция № 21

В простейших случаях метод построения доверительных интервалов состоит в следующем –оценка , . Предположим, что существует непрерывная и монотонная функция Y, зависящая от и , но такая, что ее распределение не зависит от и других параметров. Для нахождения границ доверительного интервала по заданной доверительной вероятности . В этом случае можно использовать неравенство , где числа , определяются из условия

Рассмотрим нахождение доверительного интервала для среднего и дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.

1) Доверительный интервал для оценки МО при известной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.

Пусть – выборочный вектор n–наблюдений СВ Х, где . В качестве оценки для m возьмем . Предположим, что известна. Рассмотрим статистику . Статистика .

По таблице нормального распределения найдем квантили и .

Учитывая, что получаем

2) Доверительный интервал для оценки МО при неизвестной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности. Пусть – выборочный вектор n–наблюдений СВ . В качестве оценки для m возьмем . Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то по выборке определяем статистику . Доверительный интервал для m в этом случае находится с помощью статистики .

В литературе по статистике показано, что Y имеет распределение Стьюдента с n–1 степенью свободы .

По заданной доверительной вероятности , используя таблицы распределения Стьюдента с n–1 степенью свободы, находим .

3) Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном МО нормально распределенной генеральной совокупности. Пусть – выборочный вектор n–наблюдений СВ . В этом случае в качестве оценки дисперсии используют .

В литературе по математической статистике доказано, что имеет распределение .

По таблице распределения определяются квантили и .

§ 8. Проверка статистических гипотез

Часто результаты наблюдений используются для проверки гипотез относительно тех или иных свойств распределения генеральной совокупности.

Пусть Х – наблюдаемая СВ. Она может быть дискретной, а может и непрерывной.

Определение.

Статистической гипотезой Н называется предположение относительно параметров или вида распределения СВ Х. Гипотеза Н называется простой, если она однозначно определяет распределение СВ Х, иначе Н называется сложной.

Если распределение СВ Х известно и по выборке наблюдений необходимо проверить предположение о значении параметров этого распределения, то такие гипотезы называются параметрическими. А гипотезы о виде распределения – непараметрические.

Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой и обозначается Н₀.

Обязательно на ряду с Н₀ рассматривают одну из альтернативных гипотез Н₁.

При этом имеются различные ситуации для Н₁.

Выбор альтернативной гипотезы Н₁ определяется конкретной формулировкой задачи.

Определение.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Н₀, называется критерием К. Так как решение принимается на основе выборки наблюдений СВ Х, то необходимо выбрать подходящую статистику, которую мы будем называть статистикой Z критерия К.

Замечание.

При проверке простой параметрической гипотезы Н₀: в качестве статистики критерия выбирают ту же статистику, что и для оценки параметра , т.е. .

Основной принцип при проверке статистической гипотезы:

Маловероятные события считаются невозможными, а события, имеющие большую вероятность, считаются достоверными. Реализация этого принципа на практике. Перед анализом выборки фиксируется некоторая малая вероятность , называемая уровнем значимости.

Пусть V множества значений статистики Z, V_K – подмножество множества значений статистики Z (V_K  V). Это такое подмножество, что при условии истинности гипотезы Н₀, имеем вероятность того, что .