24. Общая факторная и остаточная суммы и связь между ними.

Пусть на количественный распределенный признак Х воздействует фактор F, который имеет p постоянных уровней. Будем предполагать, что число наблюдений (испытаний) на каждом уровне одинаково и равно q.

Пусть наблюдалось n=pq значений x_ij признаков X, где i- номер испытаний (i=1,q), j- номер уровня фактора (j=1,p), что соответствует таблице:

Номер испытания	Уровни фактора Fj
	F1	F2	…	Fp
1 2 … q	x11 x21 … xq1	x12 x22 … xq2	… … … …	x1p x2p … xq p
Групповая средняя			…

По определению общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней:;

Факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая характеризует рассеяние «между группами»: ;

Остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней, которая характеризует рассеяние «внутри групп»:

.

Практически остаточную сумму находят по равенству: S_ост = S_общ – S_факт

Получим более удобные формулы для расчетов: ,(1)

(2), где – сумма квадратов значений признака на уровнеF_j , – сумма значений признака на уровнеF_j.

Замечание: Для упрощения вычислений вычитают из каждого наблюдаемого значения одно и то же число C, примерно равное общей средней. Если уменьшенные значения y_{i j}=x_{i j} – C, то

, ,

где – сумма квадратов уменьшенных значений признака на уровнеF_j; – сумма уменьшенных значений признака на уровнеF_j.

Для вывода последних формул достаточно подставить y_{i j}=x_{i j} – C в соотношений (1) и (2).

Покажем, что S_ост = S_общ – S_факт

Для упрощения вывода ограничимся двумя уровнями (p=2) и двумя испытаниями на каждом уровне (q=2). Результаты испытаний представим в таблице:

№ испыт	Уровни фактора
i	F1	F2
1 2	x11 x21	x12 x22

Тогда

Вычтем и прибавим к каждому наблюдаемому значению на первом уровне групповую среднюю , а на втором – . Выполнив возведение в квадрат и учитывая, что сумма всех удвоенных произведений равна нулю, получим

Итак, S_ост = S_общ – S_факт.

Следствие: Из полученного равенства вытекает, что нет надобности непосредственно вычислять остаточную сумму, достаточно найти общую и факторную суммы, а затем их разность.

25.Поставим задачу: проверить при заданном уровне значимости нулевую гипотезу о равенстве нескольких (р>2) средних нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями. Покажем, что решение этой задачи сводится к сравнению факторной и остаточной дисперсий по критерию Фишера-Снедекора.

1) Пусть нулевая гипотеза о равенстве нескольких средних правильна. В этом случае факторная и остаточная дисперсии являются несмещенными оценками неизвестной генеральной дисперсии и, следовательно, различаются незначимо. Если сравнить эти оценки по критерию F, то очевидно, критерий укажет, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий следует принять.Т.о.,если гипотеза о равенстве групповых средних правильна, то верна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

2) Пусть нулевая гипотеза о равенстве нескольких средних ложна. В этом случае с возрастанием расхождения между групповыми средними увеличивается факторная дисперсия, а вместе с ней отношение . В итогеокажется большеи , следовательно, гипотеза о равенстве дисперсий будет отвергнута. Т.о., если гипотеза о равенстве групповых средних ложна, то ложна и гипотеза о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

Итак, для того чтобы проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, достаточно проверить по критерию F нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсии. В этом и состоит метод дисперсионного анализа.

Замечание 1. Если факторная дисперсия окажется меньше остаточной, то уже отсюда следует справедливость гипотезы о равенстве групповых средних и, значит, нет надобности прибегать к критерию F.

Замечание 2. Если нет уверенности в справедливости предположения о равенстве дисперсий рассматриваемых р совокупностей, то это предположение следует проверить предварительно, например, по критерию Кочрена.