5. Проверка гипотезы об народности двух выборок с помощью критерия Вилкоксона в случае, если объем выборок не превосходит 25.

: ПРАВИЛО 1:Пусть ;;, тогда

1. Варианты обеих выборок располагаются в возрастающем порядке, т.е. в виде одного вариационного ряда.

есть сумма порядковых номеров вариант первой выборки.

2. Находится по таблице критических точек критерия Вилкоксона. Нижняя критическая точка

3. Находится верхняя критическая точка Если, то нет оснований отклонить. В противном случаеотклоняется и принимается

ПРИМЕР 1: При , т.е.Q=0,025. Проверить об однородности двух выборок.

: 15 23 25 26 28 29 ;: 12 14 18 20 22 24 27 30

12	14	15	18	20	22	23	24	25	26	27	28	29	30
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14

; ;;

29<54<61. Нет оснований отклонить .

ПРАВИЛО 2: ,,. Если, то нет оснований отклонить. В противном случаеотклоняют и принимают альтернативную.

ПРАВИЛО 3: ,,,Если, то нет оснований отклонить, в противном случаеотвергается и принимается.Замечание 1: Если несколько вариант одной выборки одинаковы, то в общем вариационном ряду им приписывают обычные номера, т.е. совпавшие варианты нумеруют так, как если бы были они разными числами. Если совпадают варианты разных выборок, то всем им присваивают один и тот же порядковый номер, равный среднему арифметическому порядковых номеров, которые имели бы эти варианты до совпадения.

6. Проверка гипотезы в случае, когда объем хотя бы одной выборки >25

Ho: F1(x)=F2(x)

1)Ha: F1(x)≠F2(x) критич. обл. двусторонняя; α=20

Wн.кр. (Q, n1,n2)=[--.] (1)

[ ]- обозн. целую часть

. наход. по табл. значений ф-ций Лапласа из условия

() = (1-α)/2

В остальном правило совпадает с правилом1, записанным выше.

2) Ha: F1(x)>F2(x) ( F1(x)<F2(x))

Нижняя критич. точка находится по ф-ле (1) с той разницей, что опред. из условия:

() = (1-2α)/2

В остальном правило совпадает с правилами 2),3) (см. выше)

Пример.

При уровне знач-ти 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности 2 выборок объемов:n1=40 n2=50 при конкурирующей гипотезе H1: F1(x)≠F2(x), если известно, что в общем вариационном ряду, составленном из вариант обеих выборок, сумма порядковых номеров вариант первой выборки Wнабл.=1800.

Решение. По усл. конкурир. гипотеза имеет вид F1(x)=F2(x), поэтому критич. обл-ть—двусторонняя.

Найдем с помощью рав-ва

() = (1-α)/2=(1-0,05)/2=0,475

По табл. значений ф-ций Лапласа находим =1,96.

Подставив n1=40, n2=50, =1,96, Q=0.05/2=0.025 в фор-лу (1), получим Wн.кр.=1578

Найдем верхнюю критич. точку Wв.кр.=(n1+n2+1)n1--Wн.кр.=(40+50+1)40-1578=2062. Так как Wв.кр< Wнабл.< Wн.кр (1578<1800<2062), то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об однородности выборок.

7. Функциональная зависимость. Метод наименьших квадратов (мнк).

СВ Х и У, соответствующие двум качественным признакам объектов генеральной совокупности, могут быть связаны статистической, функциональной, корреляционной или какой-либо другой зависимостью или будут независимыми.

Функциональная зависимость выражается формулой: y=f(x). Пусть в результате эксперимента получено n-значений у (для СВ У), соответствующее значениям х (СВ Х),т.е. получаем набор точек (х_i, y_i), i=.

Требуется установить на основании этих данных вид функции y=f(x). Он установится либо из теоретических предположений, либо на основании расположения точек (х_i, y_i) на координатной плоскости.

Пусть, например, экспериментальные точки располагаются на координатной плоскости так, как показано на рисунках. Учитывая, что при проведении эксперимента имеют место погрешности, можно предположить, что в первом случае зависимость между признаками Х и У имеет видy=ax+b, а во втором случае – y=ax²+bx+c.

В общем случае зависимость между признаками имеет вид y=f(x;a;b;c;…), где a,b,c… - параметры.

После того, как выбран вид функции f, задача заключается в нахождении коэффициентов a,b,c… таким образом, чтобы они описывали рассмотренный процесс в каком-то смысле, наилучшим способом. Для нахождения этих параметров применяется МНК.

Разности называются умножениями эмпирической функции или погрешностями вычислений. Здесь (х_i; y_i) – экспериментальные точки, f(x_i) – теоретическое значение у_i, т.е. то значение, которое предполагаем.

Как известно, погрешность всех вычислений минимальна, если минимальна сумма погрешностей вычислений в каждой точке. Однако на практике эта сумма не удобна для использования, поэтому используют сумму квадратов отклонений, которые будут минимальны при тех же значениях a,b,c… , что и сумма отклонений.

Обозначим через . Задача заключается в нахождении таких значенийa,b,c… , чтобы S(a,b,c…) было минимальным. Это задача мат. анализа. Коэффициенты a,b,c… находятся из системы:

Доказано, что найденные из этой системыa,b,c… наилучшим образом описывают эксперимент.

8. Пусть имеет место случай y=ax+b.

Составим сумму отклонений: S(a,b)=(y_i –ax_i-b)²;

=-2(y_i –ax_i-b)x_i; =-2(y_i –ax_i-b)

Решим эту систему методом Крамера

a=b=

Для проверки ф-ции S(a,b) на экстемум найдем вторые частные производные

А=B= C=

AC-B²=…= Следовательно значения a и b соответствуют min S.

Пример. В результате эксперимента получены следующие данные

x_i 1 2 3 5 Построим эти точки на плоскости

y_i 3 4 2,5 0,5 yi .

3 .

2,5 .

0,5 .

1 2 3 5 xi

По расположению точек можно выдвинуть гипотезу о линейной связи между признаками x и y, т.е. y=ax+b. , , ,

a= b=

y=x+

9. Метод найменьших квдратов для случая f(a,b,c)=ax²+bx+c. Пример.

С. В. Х и У соответствующие 2-м качественным признакам объектам генеральной совокупности м. б. связаны статистической, функциональной, каррилиоционной или какой либо др. зависимостью или быть не зависимыми. Функциональная зависимость выражается формулой y=f(x). Пусть в результате эксперимента получено n знач-й у соответ-щие знач-ю х, т. е. получим набор точек (х_i, y_i), i=1,n. Требуется установить на основании этих данных вид ф-ции y=f(x), он устанавливается либо из теоретических предположений, либо на основании расположения точек х_i, y_i на координатной плоскости, напр.,

пусть напр., экспериментальные точки располагаются так как показано на рис., учитывая, что при проведении эксперимента имеет место погрешности, можно предположить, что в первом случаи зависимость м/у х и у у=ах+b, а во 2-ом у=ах² +bх+с. В общем случаи зависимость м/у признаками имеет вид у=f(х, а, в, с…). После того как выбран вид ф-ции задача сводится к нахождению коэф-тов а, в, с,… т. о., что бы они описывали рассматриваемый процесс наилучшим способом. Для нахождения этих параметров широко применяется метод наименьших квадратов (МНК).

Пусть у=ах² +bх+с, т. е. Имеет место рис. 2.

S(a; b;c) = ;

, запишем сис-му

методом Крамера решаем сис-му и находим коэф-ты.

Пример

В результате эксперимента получили след-щие данные

х_i 1 2 3 4 5

у_i 1 4,8 12,3 18 27,9

Найдем коэффициенты сис-мы.

решая сис-му, получаем а=11,65, в=144,45, с=549,6

у=11,65х² +144,45х-549,6