матем / 23

23. Скалярное произведение векторов и их свойства.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, обозночаемое и равное произведению модулей данных векторов на косинус угла между ними:

1. Свойства скалярного умножения. Скалярные произведения координатных ортов.

Свойства скалярного умножения:

a•b=|a|•|b|•cos(a^b)

где (a^b) обозначает меньший угол между направлениями векторов a и b. Отметим, что всегда(0≤a^b≤π).

Основные свойства скалярного произведения векторов:

1. a •b = b• a; симметричность.

2. (λa)•b= •(λb) = λ (a•b);

3. a•(b+с) = a•b+a•с;

4. a•b = | a | прa b = |b| прb| a |;

5. a • a = | a |²;

6. a • b = 0, если a ┴ b.

Если a =(x1, y1, z1), b =(x2, y2, z2), то в базисе (i, j, k):

a • b = x1x2+ y1y2 +z1z2, | a | = √x1²+ y1²+ z1², | b | = √x2²+ y2²+ z2².

2. Скалярное произведение в координатной форме. Угол между векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.

Скалярное произведение в координатной форме.

Угол между векторами.   

Для перпендикулярности двух ненулевых векторов и необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство .

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов в координатах имеет вид .

57. Понятие производной. Ее геометрический и физический смысл.

Производной функции у=f(x) в точке Х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке

Производной функции у=f(x) в точке Х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Тангенс угла наклона касательной прямой: Скорость прямолинейного движения: Пусть  — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени