Интегральный признак Коши

Разочарую тех, кто плохо усвоил материал первого курса. Для того чтобы применять интегральный признак Коши необходимо более или менее уверенно уметь находить производные, интегралы, а также иметь навык вычисления несобственного интегралапервого рода.

В учебниках по математическому анализу интегральный признак Коши дан математически строго, но слишком уж поморочено, поэтому я сформулирую признак совсем примитивно, но понятно. И сразу примеры для пояснения.

Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Билет 9

9 Интеграл Пуассона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Не следует путать с Интеграл Эйлера — Пуассона.

Интегра́л Пуассо́на позволяет найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре.

Пусть для гармонической в шаре функции u(r, φ) поставлено условие равенства на границе функции u₀: u(R, φ) = u₀(φ), при этом функции принадлежат следующим классам гладкости: , где ∂D — граница шара D, а — его замыкание. Тогда решение такой задачи Дирихле представимо в виде интеграла Пуассона:

где ω_n — площадь единичной сферы, а n — размерность пространства.

Вывод формулы в двумерном случае

Известно, что функция

является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Преобразуем это выражение с учётом выражений для коэффициентов Фурье:

Последнюю сумму можно вычислить при 0≤r<R:

Таким образом, в преобразованном виде интеграл Пуассона для круга приобретает вид:

Также формула может быть получена методом конформных отображений. Действительная и мнимая часть голоморфной на области функции удовлетворяют на ней двумерному уравнению Лаплсаса. Известно, что приконформном отображении области плоскости на область плоскости уравнение Лапласа для функции переходит в уравнение . С помощью дробно-линейной функции лекго получить отображение исходного круга радиуса на единичный круг, при котором произвольная точка переходит в центр. Такая функция имеет вид:

где выбирается так, чтобы граничные точки исходного круга перешли в точки , при этом , а произволен. Искомая функция перейдёт в функцию . Граничная функция перейдёт в . Тогда по теореме о среднем:

Из этого выражения можно получить явное выражение для решения задачи Дирихле в круге, если выразить через . Для граничных точек круга и круга формула дробно-линейного преобразования даёт

откуда

Производя замену переменной в интеграле, получим искомое выражение:

Это выражение эквивалентно вышеприведённому:

40. Ряд Дирихле. Доказательство рассходимости гармонического ряда.

Рядом Дирихле называется ряд вида

где s и a_n — комплексные числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число , что прион сходится;абсциссой абсолютной сходимости называется такое число , что прирядсходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение (еслииконечны).

Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболее распространённым примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана, а также L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.

Доказательство Расходимости Орема

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Альтернативное доказательство расходимости

Применим доказательство от противного, предположим, что гармонический ряд сходится к сумме :

Тогда, перегруппируя дроби, получим:

Вынесем из второй скобки :

Заменим вторую скобку на :

Перенесём в левую часть:

Подставим обратно вместо сумму ряда:

Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.

не равно 0, т.к. каждая из скобок положительная.

Это означает, что S - есть бесконечность и наши операции по добавлению или вычитанию ее из обоих сторон равенства недопустимы.

Билет 10

10. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

1) Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

где p(x) и h(y) − непрерывные функции.  Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x₀, при котором h(x₀) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения.  Обозначив , запишем уравнение в форме:

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

где C − постоянная интегрирования.  Вычисляя интегралы, получаем выражение

описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

2)