1.8. Действия над событиями. Несовместные события. Противоположное событие

Рис.1

1.Пусть и– события.Событие влечет за собой событие , если, т.е..

Например, при стрельбе попадание в малый круг означает попадание и в большой кругна рис.1.

2. Объединением или суммой двух событий иназывается событие С, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событийилиа могут и оба)..

рис.2 рис.3

Пример 1.17. Пусть - попадание в малый круг,- попадание в большой круг. Тогда- попадание в любой из кругов на рис.2.

Пример 1.18. Пусть игральную кость бросают один раз. Пространство элементарных событий . Событие- выпадение четного числа очков:, событие- выпадение числа очков не больше, чем 4.:Тогда.

3. Пересечением или произведением двух событий иназывается событие С, состоящее в том, что произойдут оба событияи.(рис.3) .В примере 1.18.

События иназываютсянесовместными, если , т.е. эти события не могут одновременно произойти. В противном случае они совместны.

Несовместными называются события , , …, ,… если появление одного из них исключает появление любого из остальных ( при ).

4. Разностью или называется событие С, состоящее в том, что событие произошло, а событиене произошло:. (См. рис.5). В примере 1.18

, .

Дополнением к событию илипротивоположным по отношению к событию называется событие. Событиеозначает, что событиене произошло (см.рис.4).

В примере 1.18 .

рис.4 рис.5

Пример 1.19.

По мишени производится три выстрела. События -- попадание при-м выстреле (. Выразить с помощьюиследующие события:

-- все три попадания;

-- все три промаха;

-- хотя бы одно попадание;

-- хотя бы один промах;

-- не меньше двух попаданий;

-- не больше одного попадания;

-- попадание не раньше, чем при третьем выстреле.

Решение

1); 2); 3)

4)

5)

6)

7) .

Пример 1.20.

Элементарный исход эксперимента – время безотказной работы телевизора (измеряется в годах).

Событие – телевизор безотказно проработает больше трёх лет.

Событие – телевизор безотказно проработает меньше семи лет.

Рис. 5

Дать описание событий ,,,.

Решение

–время безотказной работы телевизора любое;

–время работы от трёх до семи лет;

–невозможное событие;

–время работы не больше трёх лет;

1.9. Алгебра событий. Алгебра событий.

Пусть - конечное пространство элементарных событий. Рассмотрим множествоF, состоящее из всех подмножеств множества . Оно содержитэлементов. Например, если, то

F . Пусть над элементами, входящими вF определены операции сложения, умножения и вычитания. Тогда F обладает следующими свойствами:

1) F, т.е. достоверное событие входит в F.

2) F замкнуто относительно операций сложения и умножения, т.е.

F , F F, F

3) F. F.

Система множеств F, обладающая свойствами 1, 2, 3, образует алгебру. Следовательно, случайные события образуют алгебру, если число исходов стохастического эксперимента конечно.

Пусть -– бесконечное, но счетное пространство элементарных событий. Рассмотрим множество F, состоящее из всех подмножеств множества . Пусть над элементами, входящими вF определены операции сложения, умножения и вычитания. Тогда F обладает следующими свойствами:

1) F, т.е. достоверное событие входит в F.

2) F замкнуто относительно операций сложения и умножения счетного множества событий, т.е. если F, то F, F.

3) F. F.

В этом случае система множеств F образует алгебру. Следовательно, случайные события образуют алгебру, если число исходов стохастического эксперимента счетно.

Для несчетного событиями будем считать не все его подмножества, а только подмножества, которые образуют алгебру.

Для любого пространства элементарных событий , конечного, счетного или несчётного, будем называть событиями те и только те его подмножества, которые образуют алгебру или – алгебру.