1.4. Перестановки

Перестановкой из различных элементов называется всякое упорядоченное множество из различных элементов.. Если в перестановке поменять местами хотя бы два элемента, мы получим уже новую перестановку, не совпадающую с данной.

Количество таких перестановок обозначается . Очевидно, что

и, следовательно, число перестановок находится по формуле

. (1.4)

–произведение целых чисел от единицы до .

По определению .

Пример 1.5.

Каким количеством способов можно расположить на полке пять разных книг?

Решение

Каждая расстановка на полке является перестановкой из пяти элементов, общее количество способов

.

Пример 1.6.

Лингвисту нужно разгадать текст, написанный с помощью 26 незнакомых знаков. Эти знаки являются буквами, изображающими каждый один из 26 звуков. Сколькими способами можно сопоставить звуки знакам письма?

Из 26 звуков можно составить перестановок

Перестановки с повторениями из элементов

Перестановкой с повторениями из элементов, среди которых некоторые элементы одинаковы, называется расстановка этих элементов в определенном порядке (т.е. упорядоченное множество), причем, если в такой расстановке поменять местами два одинаковых элемента, перестановка не меняется.

Пусть имеется элементов, среди которых –одинаковых предметов первого сорта;одинаковых предметов второго сорта;…,одинаковых предметовk-го сорта; и .

Число перестановок с повторениями из такого набора обычно обозначается .

Число элементов в каждой перестановке равно . Если бы все элементы были различны, то число перестановок было бы равно. Так как некоторые элементы совпадают, то получится меньшее число перестановок. Возьмем, например, перестановку, в которой вначале выписаны все элементы первого типа, потом все элементы второго типа,… и все элементытипа. Элементы первого типа можно переставлять друг с другомспособами, элементы второго типа можно переставлять друг с другомспособами, элементыго типа можно переставлять друг с другомспособами. Такие перестановки ничего не изменят, так как переставляются одинаковые элементы. В соответствии с правилом произведения элементы перестановки можно переставлять друг с другомспособами так, что она при этом останется неизменной. То же самое верно и для любого другого расположения элементов. Поэтому множество всехперестановок распадается на части, состоящие изодинаковых перестановок каждая, т.е.

Поэтому число различных перестановок с повторениями из элементов равно

(1.6)

Пример 1.7.

Каким количеством способов можно расположить в ряд три белых шарика, два красных и четыре черных?

Решение

1) находим число шариков: .

2) искомое количество способов:

.

Пример 1.8.

Сколько перестановок можно сделать из букв слова Миссисипи?

.

Пример 1.9.

Сколькими способами можно расселить 8 студентов по 3 комнатам: одноместной, трехместной и четырехместной?

.

1.5. Сочетания

Сочетанием из различных элементов по называются неупорядоченные подмножества элементов из заданных элементов. Сочетания считаются разными, если они отличаются хотя бы одним элементом.

Количество различных сочетаний обозначается . Рассмотрим одно такое сочетаниеиз различных элементов по . Переставим входящие в это сочетание элементы всеми возможными способами. В результате получим размещений. Такую же процедуру проделаем со всеми остальными сочетаниямииз различных элементов по . В результате получим размещений. Следовательно,Отсюда

=: (1.6)

или

. (1.7)