1.6. Стохастические эксперименты с конечным, счетным и несчетным числом исходов. Пространство элементарных событий.

Как в любом разделе математики, в теории вероятностей существуют неопределяемые понятия. Как известно, существует два типа определений: 1) логически строгое определение, которое устанавливает связь определяемого объекта с ранее введенными понятиями; 2) описательное определение с помощью слов разговорного языка. Понятия эксперимента и его исходов являются неопределяемыми в строгом смысле понятиями. Их можно описать лишь с помощью разговорного языка.

Эксперимент (опыт, испытание) – любое действие (реальное или мыслимое), которое удовлетворяет двум условиям:

1) эксперимент можно повторять неограниченное число раз; 2) повторение проводится в неизменных условиях.

Элементарным событием или исходом эксперимента называется его простейший результат, не разложимый на составные части.

Детерминированным называется эксперимент, имеющий только один исход. Например, снег, сброшенный с крыши, упадет на землю (по закону тяготения). Эксперимент является детерминированным.

Случайным или стохастическим называется эксперимент, множество исходов которого состоит более чем из одного элемента.

Множество всех исходов стохастического эксперимента образует

пространство элементарных событий, которое обозначается обычно .

Для теории вероятностей интерес представляют только случайные эксперименты.

Пример 1.15.

1. Эксперимент состоит в подбрасывании монеты один раз. Возможных исходов – два, "герб" или "решетка". Пространство элементарных событий содержит конечное число исходов.

2. Эксперимент состоит в подбрасывании монеты два раза. Возможных исходов – четыре: появление двух гербов; решетки и герба; герба и решетки; двух решеток. Пространство элементарных событий содержит конечное число исходов.

3. Подбрасывание монеты до тех пор, пока не выпадет герб. Исходов счетное множество (герб может вообще не появиться). Пространство элементарных событий содержит счетное число исходов .

4. Стрельба по кругу радиуса . Число исходов – несчетное множество.

Пространство элементарных событий .

Напомним, что счетным называется бесконечное множество, для которого существует взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел, т.е. все элементы множества можно занумеровать, причем различным элементам множества соответствуют различные номера. Несчетным называется бесконечное множество, которое не является счетным.

В зависимости от числа исходов эксперимента различают конечные, счетные и несчетные пространства элементарных событий.

1.7. Событие. Достоверные и невозможные события.

Пусть пространство элементарных событий представляет собой конечное множество .

Событием называется любое подмножество пространства элементарных событий. События обычно обозначаются прописными буквами .

Пример 1.16.

1. Опыт- бросание игральной кости один раз. Пространство элементарных событий , где- выпадение к очков. Событие- выпадение четного числа очков. Оно происходит, если осуществилось одно из элементарных событий. Следовательно,, Событие, описываемое подмножествомпроисходит только в том случае, когда происходит какое-либо элементарное событие из.

2. Подбрасывание монеты 2 раза. Пространство элементарных событий . Событие– выпадение герба, событие– выпадение герба при первом бросании.

Достоверным называется событие, которое происходит при каждом проведении данного эксперимента. Например, является достоверным событием, если игральную кость бросают один раз (какое то число очков обязательно выпадет).

Невозможным называется событие, которое не происходит ни при одном проведении данного эксперимента. Оно не содержит ни одного исхода, представляет собой пустое множество и обозначается .

Для счётного пространства элементарных событий событием называют любое подмножество этого пространства. Для несчётного событиями тоже называют его подмножества, но не любые, а удовлетворяющие определённым условиям, которые будут рассмотрены далее.