Свойства сочетаний.

1) (1.8)

Действительно,

2) (1.9)

Покажем, что правая часть (1.9) равна левой части (1.9)

3) (1.10)

В соответствии с формулой бинома Ньютона

Пример 1. 10.

Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат, если на заставе 20 солдат.

Пример 1.11.

В полуфинале первенства страны по шахматам участвуют 20 чел. В финал выходят трое. Найти число различных исходов полуфинала шахматного первенства.

Здесь нас не интересует порядок, в котором располагается первая тройка. Поэтому число исходов

Пример 1.12.

В турнире участвуют 8 игроков. Из трех человек, занявших первые места, формируется команда для поездки на соревнование. Каким количеством способов может быть сформирована команда?

Вопрос сводится к следующему: каким количеством способов можно выбрать трех человек из восьми? (порядок выбора роли не играет) По определению – это число сочетаний из восьми по три:

.

Пример 1.13.

В магазине 12 сортов пирожных. Покупатель хочет купить шесть разных пирожных. Сколько вариантов выбора у него есть?

Решение

Количество способов выбора здесь

.

В последнем примере было поставлено ограничение – разные пирожные. Если же ограничение снять, то количество вариантов выбора возрастет. Для того чтобы подсчитать количество способов выбора шести любых пирожных из 12 сортов (количество пирожных каждого сорта полагается неограниченным), нужно ввести еще одно определение – сочетание с повторениями.

Рассмотрим неограниченное количество предметов различных сортов. Пусть предметы одного сорта не различаются.

Сочетания с повторениями

Сочетанием с повторениями из элементов поназывается выборка предметов из неограниченного количества предметовразличных сортов. Такие выборки должны отличаться хотя бы одним элементом, т.е. порядок элементов во внимание не принимается

Число вариантов выбора или количество таких сочетаний обычно обозначается и вычисляется по формуле

. (1.11)

Каждое сочетание полностью определяется , если указать, сколько элементов каждого из типов в него входит. Назовем кратностью элемента число повторений данного элемента в сочетании с повторениями. Например, в сочетанииэлементимеет кратность, элементимеет кратность, элементимеет кратность, элементимеет кратность. Сумма всех кратностей равна порядку сочетания, т.е.. Поставим каждому сочетанию в соответствие последовательность из нулей и единиц, составленную по такому правилу: напишем подряд столько единиц, сколько элементов первого типа в него входит, затем нуль, затем напишем столько единиц, сколько элементов второго типа в него входит, затем нуль и т.д. Например, сочетанию с повторениямисоответствует последовательность 11101101011. Если некоторый элемент не содержится в данном сочетании с повторениями, т.е. его кратность равна нулю, то тогда группа единиц не пишется и в последовательности появится 0 по меньшей мере два раза. В элементах последовательности из нулей и единиц, соответствующих сочетаниям с повторениями изэлементов поцифра 1 встречаетсяраз, а цифра 0 встречаетсяраз. Для сочетаниясоответственно 8 и 3. Всевозможные сочетания с повторениями получатся, если подвергнуть перестановке нули и единицы в соответствующей последовательности.

Каждому сочетанию с повторениями из элементов посоответствует последовательность изединиц инулей. Следовательно, число сочетаний с повторениями изэлементов поравно числу последовательностей изединиц инулей. Это число определяется числом перестановок с повторениями

, т.е. .

Например, сочетания из 4-х элементов по 2 с повторениями будут. Им соответствуют следующие последовательности из нулей и единиц

Пример 1.14.

В магазине 12 сортов пирожных. Покупатель хочет купить шесть пирожных, не обязательно разных. Сколько вариантов выбора у него есть?

Здесь производится выбор шести предметов из неограниченного количества предметов 12-ти различных сортов.

,

то есть шесть пирожных, не обязательно разных, можно выбрать 12376 способами.