A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 .
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.
ЗАМЕЧАНИЕ
Следует иметь в виду, что при этом между двумя уравнениями системы не должно быть линейной зависимости, то есть ранг матрицы системы должен быть равен 2.
1.7. Параметрические и канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямых
Параметрические уравнения прямой
Прямая линия однозначно определена, если на ней задана точка M 0 (x0 , y0 , z0 ) и ненулевой вектор, параллельный этой прямой. В дальнейшем такой вектор будем
|
|
|
|
|
|
m |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
называть направляющим вектором. Если s = n - направляющий вектор, то для любой |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
p |
|||
точки |
M (x , y , z ), принадлежащей прямой справедливо: s |
|
M 0M . Из определения |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
коллинеарных |
|
векторов следует соотношение M 0M = t s . Так как вектор |
|||||||
|
|
|
|
x − x0 |
|
|
|
|
|
M |
|
M |
|
|
|
|
|
||
0 |
= |
y − y |
0 |
, то последнее равенство равносильно системе |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
z − z0 |
|
|
|
|
|
x − x0 |
= mt |
x = x0 |
+ mt |
|
|
|
|
y − y0 = nt , |
или y = y0 + nt . |
||
|
= p t |
|
+ p t |
z − z0 |
z = z0 |
||
Полученные три уравнения называются параметрическими уравнениями прямой, а t
- параметром.
Канонические уравнения прямой
Если использовать условие коллинеарности векторов, выраженное через их координаты, то получим уравнения, которые называются каноническими уравнениями прямой:
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
. |
m |
n |
|
|||
|
|
p |
|||
Задача 1
Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точки M (− 2,−3, 4) и
N (2,−3,−1).
15
Решение
|
4 |
|
|
0 |
|
Вектор MN = |
параллелен прямой, следовательно, мы можем выбрать его в |
|
|
−5 |
|
|
|
качестве направляющего вектора. Подставляя в канонические уравнения прямой
координаты любой из заданных точек, |
например |
M , получим систему канонических |
|||||
уравнений прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
= |
y + 3 |
= |
z − 4 |
||
|
|
|
|
|
. |
||
4 |
0 |
|
−5 |
||||
ЗАМЕЧАНИЕ
Следует заметить, что канонические и параметрические уравнения прямой выглядят различно, в зависимости от того, координаты какой точки в них подставлены вместо чисел x0 , y0 и z0 .
Кроме того, в данной задаче одна из координат направляющего вектора равна нулю, а это означает, что один из знаменателей в канонических уравнениях равен нулю. Такая запись для канонических уравнений прямой считается вполне допустимой. Чтобы понять, как в данном случае расположена в пространстве прямая, перейдем к параметрическим уравнениям. Для этого каждое из трех равных отношений обозначим через t и получим
x + 2 = 4 t |
|
x |
= 4t − 2 |
|
|
|||
|
+3 = 0 t |
|
|
y = −3 |
. Из последних уравнений ясно, что заданная прямая лежит |
|||
y |
, или |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − 4 = −5 t |
z = −5t + 4 |
|
|
|||||
в плоскости |
y = −3 . |
|
|
|
|
|||
Задача 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Составьте |
параметрические |
уравнения медианы, проведенной из |
вершины A |
в |
||||
треугольнике |
ABC , |
если заданы координаты его вершин A(1, 4,−1), |
B (− 2, − 2,5) |
и |
||||
C (3,1,−2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
На медиане |
AM задана точка A (рис.8). Направляющим вектором для нее может |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
являться вектор |
AD = AB + AC (рис. 8). Вычислим координаты векторов AB = − 6 и |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
AC = |
−3 , |
а также вектора AD = −9 . Подставим в параметрические уравнения |
||||||
−1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
x = x0 + mt |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ nt |
вместо m, n, p координаты вектора s = AD , а вместо x0 , y0 , z0 |
- |
|||
прямой y = y0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = z0 + p t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x =1 −t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты точки A . Получим y = 4 −9t . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = −1 +5t |
|
|
|
Ответ: |
x =1 −t , |
y = 4 −9t , z = −1 +5t . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
A
C
M
B 
D
Рис. 8.
Угол между прямыми
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
Пусть s1 |
= n1 |
и |
|
|
p |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
s2 |
m2 |
|
α |
|
|
= n |
2 |
- направляющие векторы двух прямых. Угол |
между |
||
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Для косинуса этого угла справедлива формула:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 , s2 |
|
|
|
|
|
m1m2 + n1n2 + p1 p2 |
|
||||||||||||
|
|
|
cos α = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
s1 |
s2 |
m12 + n12 + p12 m12 + n12 + p12 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Условие перпендикулярности прямых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 или m1m2 + n1n2 |
+ p1 p2 = 0. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
s1 |
, s2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие параллельности прямых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
= |
n1 |
= |
|
p1 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 1 |
|
|
s2 |
или |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
n2 |
|
p2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Условия пересечения прямых в пространстве |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если s1 |
|
|
|
s2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= n1 |
и |
|
|
n2 |
- |
направляющие |
векторы |
двух прямых, а |
|||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M1(x1, y1, z1 ) и |
M 2 (x2 , y2 , z2 ) |
- точки на этих прямых, |
то прямые пересекаются или |
||||||||||||||||||||||
скрещиваются |
в |
зависимости |
|
|
от |
того, |
компланарны |
или нет |
векторы s1, s2 и |
||||||||||||||||
M1M 2 (рис.9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Прямые скрещиваются, если смешанное произведение s1 s2 M1M 2 |
≠ 0 (рис.9 a). |
||||||||||||||||||||||||
Прямые пересекаются, если смешанное произведение s1 s2 M1M 2 = 0 (рис.9 b).
17
M1
M 2 |
s2 |
Рис. 9 a.
s
1
s1 M1 
s
2
M 2
Рис.9.b
Задача 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
каком |
значении |
l |
прямые |
x + 2 |
= |
|
y |
= |
z −1 |
|
и |
x −3 |
= |
y −1 |
= |
z −7 |
|
|||||||||
2 |
|
−3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
пересекаются? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
l |
4 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
0,1). Для |
|||||
Для первой прямой: направляющий вектор |
|
− 3 и точка M1(− 2, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
второй |
прямой: |
направляющий |
вектор |
s2 |
= |
|
|
4 |
|
и |
|
точка |
M 2 (3,1, 7). |
Вычислим |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
координаты вектора M1M 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
и учтем, |
что прямые пересекаются, если смешанное |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
произведение векторов s1, s2 и M1M 2 равно нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
s1 s2 M1M 2 = |
|
2 |
−3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
l |
4 2 |
= 48− 30 + 4l −80 − 4 +18l = 22l − 66. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку 22l −66 = 0 , то l = 3.
Ответ: l = 3.
Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду
Пусть прямая задана общими уравнениями A1x + B1 y + C1z + D1 = 0A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
18