1.4. Уравнение плоскости в отрезках
Теорема
Если плоскость пересекает все три координатные оси и заданы абсцисса a точки пересечения плоскости с осью Ox , ордината b точки пересечения плоскости с осью Oy
и аппликата c точки пересечения плоскости с осью Oz , то уравнение плоскости может быть записано в виде
|
x |
+ |
y |
+ |
z |
=1. |
|
|
|
|
|||
|
a |
b |
c |
|||
Это уравнение называется уравнением |
плоскости в отрезках, а числа a , b и c - |
|||||
«отрезками». |
|
|
|
|
|
|
Доказательство
Для доказательства воспользуемся тем, что заданная плоскость проходит через точки A(a , 0, 0), B (0,b, 0) и C (0, 0, c ) (рис. 6). Нормальным вектором плоскости является
вектор n = |
|
|
|
AB , AC . |
|
|
|
|
z
c C
B y
a |
b |
A |
|
x |
|
|
Рис. 6 |
|
− a |
|
|
b |
|
Поскольку AB = |
и |
|
|
0 |
|
|
|
|
− a AC = 0 ,c
|
i |
j |
то n = |
− a |
b |
|
− a |
0 |
|
|
|
k |
bc |
|
0 |
|
|
= bc i + ac j + ab k = ac . |
||
c |
|
|
ab |
||
Подставим координаты точки A и вектора n в уравнение плоскости с нормальным вектором A(x − x0 )+ Β(y − y0 )+C(z − z0 )= 0. Получим
bc (x − a)+ ac (y −0)+ ab (z −0)= 0 или bc x + ac y + ab z = abc .
Каждое слагаемое последнего уравнения разделим на произведение abc и получим уравнение ax + by + cz =1, что и требовалось доказать.
Задача
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку A(1,−1, 3) и отсекающей на координатных осях отрезки, равной длины.
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение плоскости будем искать в виде |
x |
+ |
y |
+ |
z |
=1. Из условия |
|
a |
|
= |
|
b |
|
= |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a |
b |
c |
|||||||||||||||
возможны следующие случаи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|