11.Гипербола: определение, каноническое уравнение, исследование формы кривой, координаты фокусов, уравнения асимптот, эксцентриситет.
12.Парабола: определение, каноническое уравнение, исследование формы кривой, координаты фокуса, уравнение директрисы, эксцентриситет.
13.Полярная система координат.
14.Эллипсоид и сфера: канонические уравнения и их исследование методом сечений.
15.Гиперболоиды (однополостный и двуполостный): канонические уравнения и их исследование методом сечений.
16.Параболоиды (эллиптический и параболоид вращение): канонические уравнения и их исследование методом сечений.
17.Гиперболический параболоид: каноническое уравнение и его исследование методом сечений.
18.Коническая поверхность: каноническое уравнение и его исследование методом сечений.
19.Цилиндрические поверхности.
6.ВЫПИСКА ИЗ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
3. Аналитическая геометрия (14 часов)
10.Плоскость в пространстве. Уравнение плоскости с нормальным вектором. Уравнен6ие плоскости, заданной точкой и двумя коллинеарными векторами. Уравнение в отрезках. Взаимное расположение плоскостей (2 часа).
Л.3: 466 (12,16), 469, 471 (6,7), 472, 500. 501, 517, 519, 521, 548, 549, 559, 560, 580, 581, 603, 607, 609, 612, 643.
11.Прямая в пространстве: канонические и параметрические уравнения. Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду. Взаимное расположение прямых (2 часа).
Л.3: 526, 529, 545, 584, 587, 671,676, 702, 710, 722, 739, 748, 750, 752, 762.
12.Прямая и плоскость в пространстве. Взаимное расположение. Точка пересечения прямой и плоскости. (2 часа).
Л.3: 650, 651, 652, 653, 658, 659, 661. 663, 664, 665, 766, 758, 759.
13.Прямая на плоскости.: уравнение с угловым коэффициентом, уравнение с нормальным вектором, каноническое уравнение, уравнение в отрезках. Угол между прямыми (2 часа).
Л.3: 650, 651, 652, 653, 658, 659, 661. 663, 664, 665, 766, 758, 759.
14.Контрольная работа (2 часа).
•Задача на скалярное произведение.
•Задача на векторное или смешанное произведение.
•Задача на прямую и плоскость в пространстве.
•Задача на прямую на плоскости.
15.Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Построение кривых в полярной системе координат и кривых, заданных параметрически. Выдача домашнего задания на кривые и поверхности (2 часа).
Л.3: 650, 651, 652, 653, 658, 659, 661. 663, 664, 665, 766, 758, 759.
16.Прием Т.Р.1 и домашнего задания на кривые (2 часа).
7. Тест по теме 3 «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
1. Как расположен по отношению |
|
к плоскости, заданной уравнением |
|
Ax + By +Cz + D = 0 , вектор {A; B; C}? Укажите номер верного ответа в таблице 6. |
|||
|
|
Таблица 6 |
|
1 |
|
2 |
|
Коллинеарен плоскости |
|
Ортогонален плоскости |
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
2.Как расположен по отношению к плоскости, заданной уравнением 3x − 2 y + z −1 = 0 ,
вектор {1; 1; −1}? Укажите номер верного ответа в таблице 7.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коллинеарен плоскости |
|
|
Ортогонален плоскости |
|
|||||
3. |
Как расположена в пространстве плоскость, заданная уравнением x −3y +5 = 0 ? |
|||||||||
Укажите номер верного ответа в таблице 8. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 8 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Параллельно оси Ox |
|
Параллельно оси Oy |
|
Параллельно оси Oz |
Проходит через |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начало координат |
|
4. |
Как расположена в |
пространстве плоскость, заданная уравнением −3x + y + 2z = 0 ? |
||||||||
Укажите номер верного ответа в таблице 9. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 9 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
Параллельно оси Ox |
|
Параллельно оси Oy |
|
Параллельно оси Oz |
Проходит через |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начало координат |
|
5. Какой вид имеет уравнение координатной плоскости |
xOz ? |
Укажите номер верного |
|
|||||||
ответа в таблице 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 10. |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
x = 0 |
|
|
y = 0 |
|
|
z = 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Напишите уравнение плоскости, проходящей |
через |
ось Ox |
и перпендикулярной |
||||||
плоскости − x − y + 4z −7 = 0 , и укажите номер верного ответа в таблице 11. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 11 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
− 4 y + z = 0 |
|
|
4 y + z = 0 |
|
|
x − 4 y + z = 0 |
|
||
7. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M (1; 2; 3) и
параллельной оси Oy . Укажите номер верного ответа в таблице 12.
1 |
2 |
3 |
x = t |
x = 0 |
x =1 + t |
y = 2t |
y = 2t |
y = 2 + t |
|
|
|
z = 3t |
z = 0 |
z = 3 + t |
|
Таблица 12 |
|
|
4 |
|
|
x =1 |
|
y = 2 + t |
|
|
|
z = 3 |
|
|
|
|
8. Как расположена относительно оси Oz прямая, заданная параметрическими
x = t +1 |
|
|
|
|
уравнениями y = 2t +1 ? Укажите номер верного ответа в таблице 13. |
||||
|
z = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 13 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
Параллельно |
Перпендикулярно |
Образует угол 45o |
|
|
9. Какой вид имеют общие уравнения координатной оси Oz ? Укажите номер верного ответа в таблице 14.
52
|
|
Таблица 14 |
|
1 |
2 |
3 |
|
x = 0 |
|
|
|
|
|
x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 0 |
|
|
||||||||
z = 0 |
|
|
|
|
|
y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0 |
|
|
||||||||
10. Вычислите угол, который образует с осью |
Ox |
прямая, |
заданная каноническими |
||||||||||||||||||||||
уравнениями |
x−2 |
= |
y−1 |
= |
z+3 |
и укажите номер верного ответа в таблице 15. |
|
|
|||||||||||||||||
|
−3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 15 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
||
45o |
|
|
|
|
|
0o |
|
|
|
|
|
|
|
|
90o |
|
|
60o |
|
||||||
11. Как расположена |
относительно |
плоскости |
x + y − 2z − 2 = |
0 прямая, |
заданная |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
2t + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? Укажите номер верного ответа в таблице 1 |
|||||||||||||||
параметрическими уравнениями y = −1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = t −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
||
Параллельна |
|
|
|
Перпендикулярна |
|
Лежит в плоскости |
|
Образует |
с |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
плоскостью угол 45o |
|
|||||||||||||||||||
плоскости |
|
|
|
плоскости |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12. При каких значениях α и |
|
β прямая |
|
x−1 |
|
= |
y |
|
= |
z+1 |
|
перпендикулярна |
плоскости |
||||||||||||
|
|
α |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
3x − 2 y +βz = 0 ? Укажите номер верного ответа в таблице 17. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 17 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
α = 3, β =1 |
|
|
|
|
α = 1 |
3 |
, β =1 |
|
|
|
|
3α +β = 4 |
|
|
α = −3, β = −1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
13. Составьте уравнение высоты из вершины B в треугольнике с вершинами в точках |
|||||||||||||||||||||||||
A(1, 1), B(−1, 2) |
и C(3, − 2). Укажите номер верного ответа в таблице 18. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 18 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
||
2x −3y +8 = 0 |
|
−3x + 2 y −7 = 0 |
|
|
2x −3y + 4 = 0 |
|
3x − 2 y −1 = 0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Какой вид имеют в полярной системе координат уравнения координатных линий? Укажите номер верного ответа в таблице 19.
|
|
|
|
|
|
Таблица 19 |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
Окружности |
с |
центром в |
Окружности с центром в |
Окружности |
с |
центром в |
|
полюсе |
и |
прямые, |
полюсе и лучи, проходящие |
полюсе |
и |
прямые, |
|
проходящие через полюс |
через полюс |
параллельные полярной оси |
|
||||
15. Какой вид имеют уравнения асимптот гиперболы − x2 + 2 y2 = 4 ? Укажите номер верного ответа в таблице 20.
|
|
|
|
Таблица 20 |
||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ±x |
y = ±2x |
y = ± 2 x |
y = ± |
2 |
x |
|
2 |
|
|||||
16. Какая кривая на плоскости задана уравнением x − 2 y2 − 2 y = 0 ? Укажите номер верного ответа в таблице 21.
53
|
|
|
|
Таблица 21 |
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
Парабола с вершиной |
|
|
Гипербола с центром |
Парабола с вершиной |
Гипербола с центром |
|
||
симметрии в точке |
в точке |
(1; 0) |
симметрии в точке |
в точке |
|
(− 0,25; − 0,5) |
|
|
(1; 0). |
(− 0,5; − 0,5) |
|
17. Какая кривая на плоскости задана уравнением x2 − 2 y2 + 4x = 0 ? Укажите номер верного ответа в таблице 22.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 22 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Парабола с вершиной |
|
|||
Эллипс с |
центром |
Гипербола с центром |
Гипербола с центром |
в точке |
(2; 0) и с |
|
||
симметрии |
в точке |
симметрии в точке |
симметрии в точке |
осью |
симметрии |
|
||
(2; 0) |
|
(− 2; 0) |
(− 4; 0) |
|
||||
|
|
|
Ox |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с осью Oy ? |
|
||||
18. Какое из уравнений |
в таблице 23 задает |
коническую поверхность |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 23 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
4 |
|
x2 + y2 + z 2 =1 |
x2 − y2 + z 2 = 0 |
x2 + y2 − z 2 =1 |
|
|
x2 + y2 = z 2 |
|
||
19. Какая поверхность задается в пространстве уравнением y2 − 2 y + 3x =1 ? Укажите номер верного ответа в таблице 24.
|
|
Таблица 24 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
Плоскость, параллельная оси |
Парабола с осью симметрии, |
Параболический цилиндр, |
|
Oz |
параллельной оси Ox |
параллельный оси Oz |
|
20. Какая поверхность задается в пространстве уравнением z 2 + y2 =1? Укажите номер верного ответа в таблице 25.
|
|
|
Таблица 25 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
Окружность с центром в |
Плоскость, параллельная оси |
Круговой |
цилиндр, |
|
начале координат и радиусом |
Ox |
параллельный оси Ox |
|
|
1 |
|
|
|
|
8. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная
1.Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1987.
2.В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1968.
3.Д.В. Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука. 1972.
Дополнительная
4.В.А.Коноплев, С.П.Федотова. Элементы алгебры и аналитической геометрии. Метод. указания. Л.: ЛКИ.1986.
9.ОТВЕТЫ К ТЕСТУ
Таблица 26. Ответы к тесту
№ задания |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Ответ |
2 |
1 |
3 |
4 |
2 |
2 |
4 |
2 |
2 |
3 |
№ задания |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Ответ |
3 |
4 |
1 |
2 |
4 |
4 |
2 |
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54
55