Так как в уравнении присутствуют

квадрата

переменных

x

и

y ,

то

данная

поверхность симметрична, относительна координатных плоскостей

x = 0 ,

y = 0 .

Поверхность расположена в полупространстве z ≥ 0 .

Пересекая

поверхность плоскостями

z = h (h ≥ 0),

в

сечении

будут

получаться

эллипсы

x2

+

y2

= 2h или

x2

+

y2

=1

p2

q2

2h p2

2h q2

с полуосями p

2h и q

2h , ( p, q > 0 ).

Пересекая

поверхность плоскостями

x = ±h

(или

y = ±h ), получим

в

сечении

параболы

h2

h2

y2

= 2q2 z −

, x2

= 2 p2 z

−

.

2

2

2 p

2q

h2

h2

со смещенной вершиной в точке

z =

z

=

.

2

2

2 p

2q

При p = q поверхность будет поверхностью вращения,

получающейся от вращения

параболы x2 = 2 p2 z

вокруг

оси Oz .

В

этом случае

поверхность

называют

параболоидом вращения.

z

O

y

x

Рис. 40.

x2

−

y2

= 2z , ( p, q > 0) .

p2

q2

При сечении поверхности

плоскостями

x = h или

y = h , получим параболы, с

ветвями, направленными вниз или вверх:

−

y

2

= 2z −

h2

,

x2

= 2z +

h2

.

q

2

p

p2

q

Поверхность изображена на рисунке 41.

Конус второго порядка.

x2

+

y2

−

z2

= 0 (a,b,c > 0) .

a2

b2

c2

x2

+

y2

=

h2

или

x2

+

y2

=1

a2

b2

c2

2

2

a

2

h

b2

h

c2

c2

с полуосями ah

и bh .

c

c

x = ±h

или y = ±h , то в сечении

Если же пересекать поверхность плоскостями

получим гиперболы

z

2

y

2

h2

z 2

x2

h2

−

=

−

=

.

2

2

2

2

2

2

c

b

a

a

b

c

Если ее

пересекать плоскостями

y = ±hx ,

то

в сечении получим пару

пересекающихся прямых

z = ±cx (1/ a2 )+ (h2 / b2 ).