Уравнение эллипса с центром симметрии в точке O′(x0 , y0 )
(x − x0 )2 |
+ |
(y − y0 )2 |
= 1. |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
Уравнение гиперболы с центром симметрии в точке O′(x0 , y0 )
|
(x − x0 )2 |
|
− |
(y − y0 )2 |
|
= 1, |
||||
|
|
a2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|||
вершины в точках (a, 0) и (− a, 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
− |
(x − x0 )2 |
|
+ |
(y − y0 )2 |
|
= 1, |
||||
a2 |
|
b2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
вершины в точках (0, b) и (0, −b).
Уравнение параболы с вершиной в точке O′(x0 , y0 )
(y − y0 )2 = ± 2p (x − x0 ),
ось симметрии параллельна Ox .
(x − x0 )2 = ± 2p (y − y0 ),
ось симметрии параллельна Oy .
Знак ± показывает направление ветвей параболы. Если в уравнении знак +, то направление ветвей совпадает с направлением оси, которой параллельна ось симметрии параболы. Если в уравнении знак —, то направление ветвей противоположно направлению оси, которой параллельна ось симметрии параболы.
Задача |
|
|
|
|
|
|
|
Построить |
кривую, заданную уравнением |
x2 |
+ 2x + 6y − 2 = 0, приведя его к |
||||
каноническому виду. |
|
|
|
|
|||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем уравнение следующим образом |
|
|
|
||||
|
|
|
(x2 + 2x)= −6y + 2 , (x2 + 2x +1)= −6y + 2 +1, |
||||
|
|
|
(x +1)2 = −6y + 3, (x +1)2 = −6( y − 0,5). |
|
|||
|
|
|
|
|
′ |
0,5) |
и с осью симметрии, |
Получили уравнение параболы с вершиной в точке O (−1; |
|||||||
параллельной оси Oy . Перенося начало координат в точку |
O′, |
получим в системе |
|||||
′ |
′ |
′ |
уравнение |
|
|
|
|
координат x O y |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(x′)2= −6(y′), |
|
|
|
|
где параметр |
p определяется из условия 2p = 6 или p = 3. |
|
|
||||
Парабола симметрична относительно оси |
′ ′ |
или относительно прямой x = −1. |
|||||
O y |
|||||||
Фокус параболы находится на ее оси и отстоит от вершины на 2p . Поскольку из уравнения следует, что y′ ≤ 0 , то ветви параболы направлены вниз и фокус F лежит на
2p =1,5 ниже вершины, то есть его координаты F (−1;−1).
38