- •9. Дифференциальные уравнения
- •9.1. Введение
- •9.1.1. Задачи, приводящие к понятию обыкновенного дифференциального уравнения
- •9.1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия
- •9.1.3. Задача Коши. Особые и частные решения
- •9.1.4. Метод изоклин
- •9.2. Уравнения первого порядка, допускающие интегрирование в квадратурах
- •9.2.1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •9.2.2. Однородные дифференциальные уравнения
- •9.2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.2.4. Уравнения в полных дифференциалах
- •9.3. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •9.3.1. Основные понятия
- •Определение 3. Уравнение вида
- •9.3.2. Задача Коши для уравнений высших порядков
- •9.3.3. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •9.4.1. Линейные однородные уравнения n–ого порядка
- •9.4.2. Линейные неоднородные уравнения n–ого порядка
- •9.4.3. Линейные дифференциальные уравнения n–ого порядка с постоянными коэффициентами
- •9.4.4. Уравнение движения маятника как пример линейного уравнения
- •9.4.5. Метод Лагранжа для линейных неоднородных уравнений
- •9.5. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.5.1. Матричная запись систем
- •9.5.2. Системы линейных уравнений
интервале, n раз непрерывно-дифференцируема, и подстановка ее в уравнение обращает уравнение в тождество при
x (x1 ,x2 ).
График этой функции называется интегральной кривой.
9.3.2. Задача Коши для уравнений высших порядков
Определение 1. Задача нахождения |
решения ϕ(x) |
|||
уравнения |
F (x, y, y′, y′′,..., y(n))= 0 , |
удовлетворяющего |
||
начальным |
условиям |
y(x0 )= y0 , |
y′(x0 )= y01 , |
…, |
y(n−1)(x0 )= y0n−1 называется задачей Коши для уравнения n -ого
порядка.
Теорема существования и единственности задачи Коши.
Пусть задано уравнение
y(n) = f (x, y, y′, y′′,...y(n−1))
и начальные условия
y(x0 )= y0 , y′(x0 )= y01 , …, y(n−1)(x0 )= y0n−1 .
Если функция f (x, y, y′, y′′,...y(n−1)) непрерывна в некоторой окрестности начальных условий, и ее частные производные первого порядка непрерывны по y, y′, y′′,..., y(n−1) в этой же
окрестности, то заданным начальным условиям соответствует одно определенное решение дифференциального уравнения для всех x из этой окрестности.
Определение 2. Функция |
y = ϕ(x,C1 ,C2 ,...,Cn ), |
где |
C1 ,... , Cn – произвольные |
постоянные, называется |
общим |
решением уравнения y(n) = f (x, y, y′, y′′,...y(n−1)), если |
|
|
1) она является решением этого уравнения при любых допустимых значениях постоянных C1 ,... , Cn ;
2) для любых начальных условий y(x0 )= y0 , y′(x0 )= y01 , …, y(n−1)(x0 )= y0n−1 система уравнений
31