Решение. Решение будем искать в два этапа.

1 этап. Найдем общее решение соответствующего

Общее решение однородного уравнения имеет вид y = Cx .

2 этап. Общее решение неоднородного уравнения будем y(x)= C(x) x .

C(x)= x22 +C1 .

Общее решение исходного уравнения имеет вид y(x)= C1 x + x23 .

9.2.4. Уравнения в полных дифференциалах

Определение. Дифференциальное уравнение

M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой

дифференцируемой функции двух переменных u(x, y), то есть левая часть уравнения представима в виде

25

M (x, y)dx + N (x, y)dy = du(x, y).

Теорема. Пусть задано дифференциальное уравнение, где M (x, y) и N(x, y) - непрерывно дифференцируемые функции.

Для того чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнение следующего условия

∂M (x, y) = ∂N (x, y).

∂y ∂x

Доказательство. Необходимость. Пусть заданное уравнение

– уравнение в полных дифференциалах. Тогда по определению существует дифференцируемая функция двух переменных u(x, y), такая что M (x, y)dx + N (x, y)dy = du(x, y).

По определению полного дифференциала du(x, y)= ∂∂ux dx + ∂∂uy dy .

Следовательно, M (x, y)= ∂∂ux ,

В силу непрерывности функций M (x, y) и N(x, y), порядок дифференцирования в этих выражениях можно поменять, то есть

Достаточность. Пусть ∂M (x, y) = ∂N (x, y). Покажем, что

∂y ∂x

существует функция u(x, y), такая что

M (x, y)dx + N (x, y)dy = du(x, y).

Напомним формулу полного дифференциала du(x, y)= ∂∂ux dx + ∂∂uy dy ,

из которой следуют следующие равенства:

27

задает общий интеграл уравнения в полных дифференциалах. Замечание. Аналогично можно показать, что равенство

28

∫x M (x, y0 )dx + ∫y N (x, y)dy = C

x0 y0

тоже задает общий интеграл уравнения в полных дифференциалах.

Замечание. Значения x0 и y0 можно выбрать произвольно. Необходимо только чтобы существовали подинтегральные функции M (x, y0 ), N(x0 , y). Если решается задача Коши, то x0

и y0 соответствуют начальным данным.

Пример 1. Проинтегрировать уравнение

(x3 + y)dx + (x − y)dy = 0 .

Уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем общий интеграл уравнения. Это можно сделать двумя способами. Либо воспользоваться полученными формулами, либо найти общий интеграл по алгоритму, изложенному в доказательстве теоремы.

Способ 1. Воспользуемся первой из полученных формул

∫x (x3 + y)dx + ∫y (x0 − y)dy = C , пусть x0 = 0, y0 = 0 .

∫x (x3 + y)dx + ∫y (− y)dy = C .

Вычислив интегралы, получим общий интеграл заданного уравнения

Продифференцируем полученное равенство по y .

29