M • α
Рис.1. График искомой кривой
9.1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
F(x, y, y′)= 0 ,
где x - независимая переменная, y = y(x) - дифференцируемая функция, y′ - производная этой функции по переменной x .
y′ = f (x, y)
называется уравнением, разрешенным относительно производной или уравнением в нормальной форме.
Учитывая, что y′ = |
dy |
, дифференциальное уравнение, |
dx |
разрешенное относительно производной, можно записать в виде
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 .
Это симметричная форма записи дифференциального уравнения.
Определение 2. Функция ϕ(x) называется решением
уравнения на интервале (x1 ,x2 ), если она определена на этом
интервале, непрерывно-дифференцируема, и подстановка этой функции в исходное уравнение обращает его в тождество для
x (x1 ,x2 ).
График функции ϕ(x) называется интегральной кривой. Определение 3. Решить дифференциальное уравнение,
значит, найти функцию y = ϕ(x), являющуюся решением.
9