- •9. Дифференциальные уравнения
- •9.1. Введение
- •9.1.1. Задачи, приводящие к понятию обыкновенного дифференциального уравнения
- •9.1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия
- •9.1.3. Задача Коши. Особые и частные решения
- •9.1.4. Метод изоклин
- •9.2. Уравнения первого порядка, допускающие интегрирование в квадратурах
- •9.2.1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •9.2.2. Однородные дифференциальные уравнения
- •9.2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.2.4. Уравнения в полных дифференциалах
- •9.3. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •9.3.1. Основные понятия
- •Определение 3. Уравнение вида
- •9.3.2. Задача Коши для уравнений высших порядков
- •9.3.3. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •9.4.1. Линейные однородные уравнения n–ого порядка
- •9.4.2. Линейные неоднородные уравнения n–ого порядка
- •9.4.3. Линейные дифференциальные уравнения n–ого порядка с постоянными коэффициентами
- •9.4.4. Уравнение движения маятника как пример линейного уравнения
- •9.4.5. Метод Лагранжа для линейных неоднородных уравнений
- •9.5. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •9.5.1. Матричная запись систем
- •9.5.2. Системы линейных уравнений
|
|
∂u |
|
|
∂ |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
|
|
|
x |
|
|
′ |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
+ x y + ϕ(y) |
= x + ϕ (y) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
∂y 4 |
|
|
|
|
|
||||||
Учитывая, что |
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂y = N (x, y)= x − y , получим x + ϕ (y)= x − y . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
y2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интегрируя уравнение ϕ |
(y)= −y , получим ϕ(y)= − 2 . Отсюда |
||||||||||||||
u(x, y)= |
x4 |
+ x y − |
y2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, общий интеграл уравнения имеет вид:
x4 |
+ x y − |
y2 |
= C . |
|
4 |
2 |
|||
|
|
9.3. Дифференциальные уравнения высших порядков
9.3.1. Основные понятия
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n -ого порядка называется уравнение вида
F (x, y, y′, y′′,..., y(n))= 0 ,
где x независимая переменная, y = y(x) искомая |
функция, |
|||
y′, y′′,... , y(n) |
производные функции y(x) по переменной x . |
|||
Определение 2. Порядок старшей производной называется |
||||
порядком уравнения. |
y(3) |
+ x y′+ 2 = 0 , |
|
|
Например, |
уравнение |
является |
||
обыкновенным |
дифференциальным |
уравнением |
третьего |
|
порядка. |
|
|
|
|
Определение 3. Уравнение вида
y(n) = F1 (x, y, y′, y′′,..., y(n−1)),
называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной или уравнением в нормальной форме.
Определение 4. Функция ϕ(x) называется решением уравнения на интервале (x1 ,x2 ), если она определена на этом
30