Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальные уравнения.pdf

Скачиваний:

281

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

723.38 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

9.5. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Определение 1. Системой обыкновенных дифференциальных уравнений называется система уравнений, связывающая независимую переменную x , функции y1 (x), y2 (x),…, yn (x) и

производные от этих функций:

(x, y1 , y1′,..., y1(k1 ), y2 , y2′,..., y2(k2 ),..., yn , yn′,..., yn(kn ))= 0

F2 (x, y1 , y1′,..., y1(k1 ), y2 , y2′,..., y2(k2 ),..., yn , yn′,..., yn(kn ))= 0

......................................................................................

Fn (x, y1 , y1′,..., y1(k1 ), y2 , y2′,..., y2(k2 ),..., yn , yn′,..., yn(kn ))= 0

Определение 2.

Сумма

старших

производных

функций

y1 (x), y2

(x),…, yn (x),

n = k1 + k2 +

...

+ kn

называется

порядком системы.

Определение 3.

Если

система

разрешена

относительно

старших производных, то она называется канонической:

)

(kn )

′

(k1 −1)

′

(k2

−1)

,..., yn

′

(kn

−1)

(x, y1 , y1

,..., y1

, y2 , y2

,..., y2

, yn ,..., yn

y2(k2 )

(x, y1 , y1′,..., y1(k1 −1), y2 , y2′,..., y2(k2 −1),..., yn , yn′,..., yn(kn −1))

.................................................................................................

)

(kn )

′

(k1 −1)

′

2 −1)

′

(kn −1)

,..., y1

,..., y2

fn (x, y1 , y1

, y2 , y2

,..., yn , yn ,..., yn

Определение 4. Система дифференциальных уравнений

первого

порядка

разрешенных

относительно

производных

называется нормальной системой:

)

y′ =

(x, y , y

,..., y

y2′ = f2

(x, y1 , y2 ,..., yn )

.......................................

(x, y1 , y2 ,..., yn )

yn′ = fn

Задача

Коши.

Задача

определения

функций

y1 (x), y2

(x),…, yn (x),

являющихся

решением

системы

дифференциальных уравнений и удовлетворяющих начальным
условиям	y	(x	0	)= y0	,	y	2	(x	0	)= y0	,…, y	n	(x	0	)= y0	,	где
	1		0	1			2		0	2		n		0	n
56

x	0	, y0 , y0		, …, y0	- заданные числа, называется задачей Коши
		1	2	n
для системы дифференциальных уравнений.
		Теорема. (Существования и единственности решения
задачи			Коши).		Пусть функции fi (x, y1 , y2 ,..., yn ), i =1,...,n

непрерывны в окрестности точки M ( x0 , y10 , y20 ,…, yn0 ) и имеют в этой окрестности непрерывные частные производные ∂fi / ∂y j , j =1,...,n . Тогда найдётся интервал (x0 − h,x0 + h), в котором

существует единственное решение нормальной системы удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Определение 5. Общим решением нормальной системы называется набор n функций:

	y1		(x)= y1 (x,C1 ,C2 ,...,Cn )
	y	2	(x)= y	2	(x,C ,C	2	,...,C	n	)
		2		2	1	2		n		,
	...

	y	n	(x)= y	n	(x,C ,C	2	,...,C	n	)
		n		n	1	2		n
которые удовлетворяют следующим условиям.
1. Функции	y1 (x,C1 ,C2 ,...,Cn ),						y2 (x,C1 ,C2 ,...,Cn ),…,

yn (x,C1 ,C2 ,...,Cn ), являются решениями системы при любых значениях постоянных C1 ,C2 ,...,Cn .

2. Каковы бы ни были начальные условия, найдется единственный набор значений C1 ,C2 ,...,Cn , при которых

эти функции удовлетворяют системе и любым поставленным начальным условиям из области существования и единственности решений.

9.5.1. Матричная запись систем

Введем в рассмотрение вектор-функции Y (x) и F(x,Y ):

y1		(x)			f1		(x, y1 ,..., yn )
Y (x)= y2		(x)		и F(x,Y )= f		2	(x, y1 ,..., yn ) .
	...						...
y	n	(x)			f	n	(x, y ,..., y	n	)
							1
Определение	5.		Пусть		функции		y1 (x),...yn (x) имеют

непрерывные производные, тогда производная вектор-функции Y (x) есть вектор-функция, компонентами которой служат

производные компонент вектор-функции Y (x):

y1′((x))

Y ′(x)= y2′...x .

yn′ (x)

Учитывая эти обозначения, нормальную систему можно записать в векторном виде:

Y ′(x)= F(x,Y ).

9.5.2. Системы линейных уравнений

Определение 1. Линейной неоднородной системой дифференциальных уравнений называется система вида

dy1

=a (x)y +a (x)y + +a (x)y + f (x)...

dy2

=a21 (x)y1 +a22 (x)y2 + +a2n

(x)yn

+ f2

(x)

.........................................................................

dyn

(x)y

+... +a

(x)y

(x)

fi (x)≡ 0 , i =1,...,n ,

Определение 2. Если все функции

то система дифференциальных уравнений называется линейной однородной системой:

Y ′(x)= AY (x),

dy1

=a (x)y +a (x)y + +a (x)y...

dy2

(x)y

+ +a

(x)y

n .

............................................................

dyn

(x)y

+... +a

(x)y

функцию A(x) с

Введем в

рассмотрение

матричную

элементамиaij (x):

a (x)

(x) ...

a (x)

a1121 (x)

a2212 (x) ...

a12nn (x)

A(x) = ......... .......... ...

.......... .

an1 (x)

an2 (x) ...

ann

(x)

Тогда линейная неоднородная система запишется в матричном виде:

Y ′(x)= A(x)Y (x)+ F(x),

	y	(x)		f	(x)
где,	Y (x)= y12 (x)		,	F(x)= f	12 (x) .
		...			...
	yn (x)			fn (x)

9.5.3. Системы линейных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами

Методы решения систем дифференциальных уравнений наиболее разработаны для линейных систем с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим сначала линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Матричная запись однородной системы имеет вид:

где

y		(x)			a11	a12	...	a1n
1		(x)				a22	...
y	2	(x)	,	A =	a21	a22	...	a2n	,
Y (x)=	2		,	A =					,
	...					...	...
	...				...	...	...	...
yn (x)						an2	...
yn (x)					an1	an2	...	ann

aij − константы.

Рассмотрим различные методы решения линейных систем с постоянными коэффициентами.

Метод Эйлера. Этот метод используется для нахождения общего решения линейных однородных систем. По методу Эйлера решение системы ищется в виде

y	= α	eλx , y	2	= α	2	eλx , ... , y		n	= α	n	eλx ,
1	1
где α1 , α2 , ..., αn , λ -			постоянные				числа,				причем числа

α1 , α2 , ..., αn не равны нулю одновременно, так как наша цель

построить фундаментальную систему решений, а нулевое решение не может входить в нее. В векторном виде это можно записать следующим образом:

α1

Y = eλt R; где R = α2 .

...αn

Подставим это решение в исходную систему

λeλx R = A eλx R ; или λeλx ЕR = A eλx R ,

где Е - единичная матрица. Отсюда

eλx (A −λE)R = 0 .

Сокращая на	eλx		≠ 0 , получим систему линейных однородных
алгебраических уравнений для определения αi :
(a		−λ)α		1	+ a	α	2	+... + a	α	n	= 0
11				1	12		2	1n		n
a21α1 + (a22 −λ)α2								+... + a2n αn = 0 .
			+ an2 α2 +... + (ann −λ)αn = 0
an1α1			+ an2 α2 +... + (ann −λ)αn = 0
60

Для того чтобы система имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

			a11 −λ	a12	...	a1n

	A −λE	=	a21	a22 −λ ...		a2n	= 0 .

			...	...	...	...

			an1	an2	...	ann −λ
Полученное уравнение				называется		характеристическим

уравнением, а корни этого уравнения, называются собственными

числами матрицы A .

Задача нахождения корней характеристического уравнения сводится к задаче нахождения корней многочлена n -ой степени. Рассмотрим следующие случаи.

Пример 1. Корни характеристического уравнения

действительны и различны.

Решить однородную систему:

y1′ = −y1 −2 y2

y2′ = 3y1 + 4 y2 .

Решение. Найдем общее решение системы методом Эйлера.

Для данной системы

y	1		−1		− 2

Y =
		, A =		3	4	.
y	2

A −λE

−1 −λ − 2

= 0 .

4 −λ

Характеристическое уравнение имеет вид

− 4 − 4λ +λ + λ2 + 6 = 0, λ2 −3λ + 2 = 0 .

Корни

характеристического

уравнения λ1 = 2 , λ2 =1,

вещественны и различны. Каждому простому действительному корню λi соответствует вектор Ri и решение системы:

Yi (x)= eλi x Ri ,

где

α
		1i
Ri =	α	.
	α	2i

Компоненты вектора Ri ноходятся из системы уравнений

(a	−λ	i	)α	1i	+ a		α	2i	= 0		.
11						12
a21α1i +			(a22 −λi )α2i = 0
Рассмотрим первое	собственное					число				λ1 = 2 . Компоненты
вектора R1 найдем из системы
	−3α11 − 2α						21 = 0			.
				+ 2α21			= 0
	3α11

Система состоит из двух одинаковых уравнений. Таким образом, для определения двух неизвестных у нас имеется только одно уравнение. Одно из неизвестных можно выбрать произвольно.

Пусть α11 = 2 , тогда α21 = −3. Следовательно,

		2		2e2 x
Y1 = e	2 x
Y1 = e			=	−3e	2 x .
		−3		−3e

Рассмотрим второе собственное число λ2 = 2 . Компоненты

вектора R2 найдутся из системы
	− 2α12 − 2α22				= 0
		+3α22		=	0	.
	3α12	+3α22		=	0
Отсюда
Y		1		ex
Y	= e2 x		=			.
2		−1			−e	x
					−e

Векторы Y1 и Y2 линейно-независимы, так как определитель Вронского, построенный на этих решениях не равен нулю.

2e2 x	ex	= −2e3x +3e3x = e3x ≠ 0 .
−3e2 x	−ex

Общее решение системы имеет вид

= C Y

+C Y

= C

2 x

1 1

2 2

−e

−

2 x

C e

2 x

x .

−C

−C 3e

Пример 2. Корни характеристического уравнения

комплексно-сопряженные.

Найдите

общее

решение

однородной

системы

дифференциальных уравнений, где x = x(t)

и y = y(t):

x′ = x + y

y′ = 3y −

Решение. Матрица системы имеет вид

A =

− 2

Характеристическое

уравнение

1−λ

= 0

имеет

− 2

3 −λ

комплексно

сопряженные

корни

λ1,2

= 2 ±i .

Для нахождения

вектора R1 , соответствующего

корню

λ1

= 2 +i ,

составим

систему:

(−1 −i)α11 + α21 = 0

− 2α11 + (1 −i)α21 = 0

Уравнения этой системы линейно зависимы, поэтому система

эквивалентна первому уравнению. Придадим α11 любое

ненулевое значение, например,			α11 =1, и найдём из первого
уравнения α21 . Получим вектор:
	α	11	1
R =		11	=		.
1	α21			+i
	α21		1	+i

Так как корни характеристического уравнения комплексно сопряженные,

R				α	12	1
R	2	=			12	=				.
	2			α22				−i
				α22		1		−i
Отсюда
	Y					1			,
	Y		= e(2+i )t						,
	1
						1	+i
	Y					1
	Y		= e(2−i )t					.
	2
						1	−i

качестве

фундаментальной системы

решений

можно взять

(t)= ReY1 (t),

линейно независимые вещественные решения Y1

(t)= ImY1

(t):

(2+i )t

e2t

cost

(t)= Re

(cost −sin t)

(2+i )t

e2t

sin t

(t)= Im

(cos t +sin t)

Общее решение данной системы имеет вид:

x(t)	e2t		cost	e2t
		2t			2t
Y (t)=	= C1	2t		+C2	2t
y(t)	e		(cost −sin t)	e

sin t

(cost +sin t)

или в развёрнутом виде:

	2t				2t
x(t)= C1e	2t	cost	+C2 e		2t	sin t
x(t)= C1e		cost	+C2 e			sin t		.
								.
			2t				2t
y(t)= (C1 +C2 )e			2t	cos t		+ (C2 −C1 )e	2t	sin t
y(t)= (C1 +C2 )e				cos t		+ (C2 −C1 )e		sin t

Пример 3. Характеристическое уравнение имеет кратные корни. Пусть λ – действительный корень характеристического уравнения кратности p ≥ 2 . Для каждого такого корня соответствующее решение системы ищем в виде

	α11		+ α12t +... + α1 p t					p−1
	α11		+ α12t +... + α1 p t
	α		+ α		t +... + α		t p−1
Y (t)=		21		22		2 p			eλt ,
...
								p−1
	αn1		+ αn2t +... + αnp t					p−1
	αn1		+ αn2t +... + αnp t

где коэффициенты αij находятся из системы алгебраических

уравнений, получающейся с помощью приравнивания коэффициентов при равных степенях при подстановке вектора

Y (t) в исходную систему.

Найдите

общее

решение

однородной

системы

дифференциальных уравнений:

x′ = 2x − y

′ = 4x + 6 y

Решение.

Искомыми функциями в данном случае являются

x(t) и y(t). Матрица системы имеет вид

−1

A =

Характеристическое уравнение

2 −λ −1

= (λ − 4)2 = 0

6 −λ

имеет корень

λ = 4

кратности 2.

Поэтому решение системы

ищется в виде:

x(t)

Y (t)

e4 t .

α21

y(t)

α22t

Тогда

′

′(t)

α12

4 t

α11

+ α12t

4 t

Y (t)=

α22

′(t)

α21

+ α22t

Подставляя эти выражение в исходную систему и сокращая на e4 t ≠ 0 , получаем

+ α

2α

−α

2α

−α

+ 4

4α12

+ 6α22

t .

α22

α21 + α22t

4α11 + 6α21

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t ,

получаем систему:

t 0 :

α12 + 2α11 + α21 = 0

α22 − 4α11 − 2α21

= 0

t1 :

2α12 + α22 = 0

− 2α22 − 4α12 = 0

Последние два уравнения в этой системе одинаковые

α12 + 2α11 + α21 = 0

α22 − 4α11 − 2α21 = 0

= −2α

α22 = −2α12

Подставив значение для α22 во второе уравнение системы,

получим

α12 +

2α11 + α21 = 0

22 = −2α12

Исходная система свелась к системе двух уравнений относительно неизвестных α11 , α12 , α21 , α22 . Таким образом два коэффициента можно выбрать произвольно. Полагая, например, α11 = C1 ; α12 = C2 , получим из системы α12 = −2C1 −C2 ,

α22 = −2C2 .

Таким образом, общее решение исходной системы имеет вид:

Y (t)=	x(t)		C			+C		t
Y (t)=			=	1			2			)− 2C	e4 t .
	y(t)			−	(2C		+C		2	)− 2C	t
						1			2	2
Метод вариации произвольных постоянных (метод
Лагранжа). Зная		фундаментальную								систему решений
Y1 (x),Y2 (x),...,Yn (x)		однородной						системы			′
Y1 (x),Y2 (x),...,Yn (x)		однородной						системы			Y (x)= AY (x),
66

методом вариации произвольных постоянных можно найти решение неоднородной системы

Y ′(x)= A Y (x)+ F(x).

Метод вариации произвольных постоянных состоит в том, что решение системы ищется в виде

Y (x)= C1 (x)Y1 (x)+C2 (x)Y2 (x)+ ...+Cn (x)Yn (x),

где Ci (x) некоторые непрерывно – дифференцируемые функции.

Подставив это решение в систему, получим

C1′(x)Y1 (x)+C2′(x)Y2 (x)+... +Cn′(x)Yn (x)+

′	′				′					.
+C1 (x)Y1 (x)+C2	(x)Y2	(x)+... +Cn (x)Yn (x)=								.
= A C1 (x)Y1 (x)+ A C2 (x)Y2 (x)+... + A Cn (x)Yn (x)+ F(x)
Учитывая,	что	′							′	можно
Учитывая,	что	Yi (x)=	AYi (x), функции Ci (x)							можно
найти из системы
C1′(x)Y1 (x)+C2′(x)Y2 (x)+... +Cn′(x)Yn (x)= F(x).
Пример 4. Решить неоднородную систему методом Лагранжа.
		′						−x
	y1 = −y1 − 2 y2				+	2e		−x
	y1 = −y1 − 2 y2				+	2e			.
		′					−x		.
		′
	y2 = 3y1 + 4 y2 + e
	y2 = 3y1 + 4 y2 + e
Решение. Решим сначала соответствующую однородную
систему
		y′ = −y		−	2 y	2 .
		1	1			2 .
		y2′ = 3y1 + 4 y2

Ее решение было получено в Примере 1:

Y	= C	2e	2 x		+C		e	x
Y	= C	2e			+C		e		.
0	1	−3e		2 x		2	−e		x
		−3e					−e

Общее решение неоднородной системы будем искать в виде:

2 x

= C1

+ C2

(x)

−3e

2 x

(x)

− e

где C1 (x) и C 2 (x)

неизвестные функции. Для нахождения этих

функций подставим Y1 в неоднородную систему

C1′(x)2e

C ′(x)(−1

Найдем C′1 (x) и C′2 (x).

2 x +C2′(x)ex = 2e−x . 3e2 x )+C2′(x)(−ex )= e−x

По формулам Крамера имеем:

2e2 x

= e3x

2e−x

= −3 ,

−3e

2 x

−ex

e−x

−ex

2e2 x

2e−x

= 8ex .

−3e

2 x

e−x

C1′(x)= −3e−3x , C1 (x)= e−3x .

C2′(x)= 8ex e−3x = 8e−2 x ; C2 (x)= −4e−2 x .

2e2 x

−

− 2

= e−3x

2 x

4e−2 x

e−x ,

−3e

−e

Y = C

2e2 x

− 2

+ e−x

−3e

2 x

−e

Общее решение неоднородной системы имеет вид:

		2 x			x			−x
y1 = 2C1e		2 x	+C2e		x	−2e		−x
y1 = 2C1e			+C2e			−2e				.
			2 x			x			−x	.
	= −3C1e			−C2e			+e
y2	= −3C1e			−C2e			+e

Метод исключения. Некоторые линейные системы удается свести к одному линейному уравнению, порядок которого равен порядку системы. Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 5. Решить линейную однородную систему

		y′ = −y		2 .
		1		2 .
		y2′ = y1
Решение. Систему второго порядка можно свести к
линейному	уравнению	второго	порядка.		Продифференцируем
	′′	′			′
первое уравнение y1		= −y2 , и подставим в него y2 из второго
уравнения.	Получим	дифференциальное			уравнение второго
68

порядка y1′′+ y1 = 0 . Характеристическое уравнение имеет вид

λ2 +1 = 0, его корни λ		= ±i .
	1,2
y	= C cos x +C			sin x,	.
1	1		2		.
y2	= y1′ = −C1 sin x +C2 cos x

4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ

1.Дайте определение общего решения дифференциального уравнения первого порядка.

2.Напишите пример дифференциального уравнения первого порядка.

3.Какой вид имеет уравнение с разделяющимися переменными.

4.При каких условиях верна теорема существования и единственности задачи Коши для уравнения с разделяющимися переменными

5.Дайте формулировку задачи Коши для уравнения первого порядка.

6.Дайте определение изоклины.

7.Назовите необходимое и достаточное условие уравнения в полных дифференциалах.

8.Дайте определение фундаментальной системы решений для линейного однородного дифференциального уравнения.

9.Запишите систему ОДУ в матричном виде.

10.Как следует выбрать вид частного решения для нелинейного уравнения со специальной правой часть

5.ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

1.Общие определения теории ОДУ.

2.Уравнения с разделяющимися переменными.

3.Однородные дифференциальные уравнения.

4.Теорема о существовании и единственности решения задачи для ДУ первого порядка.

5.Уравнения в полных дифференциалах.

6.Геометрический смысл ДУ первого порядка. Метод изоклин.

7.Линейные дифференциальные уравнения n -ого порядка.

Основные определения. Свойства решений.

8.Понятие линейной независимости решений

9.Неоднородные линейные уравнения n -ого поряка.

10.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.

11.Системы ОДУ. Матричная запись.

12.Решение линейных однородных систем с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.

6. ВЫПИСКА ИЗ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1.Дифференциальные уравнения (ДУ). Общее и частное решения. Задача Коши. Геометрический смысл дифференциального уравнения I порядка. Метод изоклин. Геометрические и физические задачи на составление дифференциальных уравнений. Выдача типового расчета по теме «Дифференциальные уравнения».

2.Особые решения. ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные ДУ. Л. 4. 51-53, 57, 58, 106-

108, 110, 112.

3.Линейные ДУ первого порядка. Уравнения в полных дифференциалах. Л. 4. 137, 139, 141, 144, 146, 186, 188-

190, 192, 193.

4.ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка.

Л. 4. 423, 430, 435, 437, 442, 444.

5.Решение линейных ДУ со специальной правой частью методом подбора. Л. 4. 511, 515, 518, 521, 525, 532.

6.Решение линейных неоднородных ДУ со специальной правой частью. Л. 4. 540-547, 549, 551, 555, 559, 585. Л. 5.

330, 335-337, 340, 346, 352.

7.Решение линейных неоднородных ДУ методом Лагранжа.

8.Решение систем дифференциальных уравнений сведением к однородному уравнению. Л. 4. 575-578. Л. 5.

654, 657, 658, 660, 661.

9.Решение линейных однородных систем ДУ методом Эйлера. Л. 4. 786, 787, 788, 789, 790, 792, 795, 796.

10.Прием ТР по теме «Дифференциальные уравнения».

11.Контрольная работа

-ДУ уравнения 1 порядка.

-ДУ 2 порядка, сводящееся к ДУ 1 порядка.

-Линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

-Линейное неоднородное ДУ, интегрируемое методом Лагранжа.

7. Тест по теме 9. «Обыкновенные дифференциальные уравнения»

1.	Определите тип ОДУ 2xy′+ y2		=1. Укажите номер верного
	ответа в таблице 2.
				Таблица 2

	1	2		3
С разделяющимися		Линейное		В полных
	переменными			дифференциалах

2. Какое из ниже перечисленных уравнений является уравнением в полных дифференциалах:

1)(1 − x2 )dy + xydx = 0 ,

2)(2xy2 − y)dx + xdy = 0 ,

3)(sin x + y)dy + (y cos x − x2 )dx = 0 ?

Укажите номер верного ответа в таблице 3.

		Таблица 3

1	2	3
Первое	Второе	Третье

3.Найдите корни характеристического уравнения ОДУ

y′′−9 y = 0 . Укажите номер верного ответа в таблице 4.

										Таблица 4

	1				2					3
λ1 = 3, λ2 = −3				λ1 = 0 , λ2 = −3					λ1 =1, λ2 = 9
4.	Найдите фундаментальную систему решений для
уравнения y′′− 2 y′+5y = 0 . Укажите номер верного ответа
в таблице 5.
										Таблица 5

	1		2				3				4
y	= ex ,	y	= e−x cos 2x ,			y	= ex cos 2x ,			y	= e−2 x ,
1		1				1				1
y2	= e−x	y2	= ex cos 2x			y2	= ex	sin 2x		y2	= e5x

В каком виде следует искать частное решение уравнения

y′′′+ y′ = sin x + cos x . Укажите

номер верного ответа в

таблице 6.

Таблица 6

y = x(Acos x + B sin x)

y = Acos x

y = Acos x + B sin x

Какая из функций

является однородной

функцией второго

порядка относительно переменных x и

y ? Укажите номер

верного ответа в таблице 7.

Таблица 7

f (x, y)= x2 − 2 y

f (x, y)= x2 − 2xy

f (x, y)= x2 − xy2

y′′ = cos x . Укажите

Найдите общее решение

уравнения

номер верного ответа в таблице 8.

Таблица 8

y = −cos x +C1 x +C2

y = cos x +C1 x +C2

y = cos x +C1 x

Найдите решение задачи Коши

xdy − 2 ydx = 0 , y(1)= 2 .

Укажите номер верного ответа в таблице 9.

Таблица 9

y = x2 +C

y = 2x2

y = 2x

Найдите фундаментальную систему решений для

уравнения y′′−6 y′+9 y = 0 . Укажите номер верного ответа

в таблице 10.

Таблица 10

= e3x ,

= cos 3x ,

=1,

y = e3x ,

= sin 3x

= e−3x

= e3x

y2 = xe3x

10.Пользуясь принципом суперпозиции, определите вид

частного решения	уравнения y′′′− y′′ =1 + ex . Укажите
номер верного ответа в таблице 11.
		Таблица 11

1	2	3
Ax2 + Bxex	Ax + (Bx +C)ex	Aex

11. Какое из ниже перечисленных уравнений является линейным уравнением первого порядка:

1)(sin x + y)dy + (y cos x − x2 )dx = 0

2)(2xy2 − y)dx + xdy = 0

3)(1 − x2 )dy + xydx = 0 ?

Укажите номер верного ответа в таблице 12.

		Таблица 12

1	2	3
Первое	Второе	Третье

12. Какое из ниже перечисленных уравнений не допускает понижение порядка:

1)x2 y′′− 4xy′+ 6 y = 0 ,

2)y′′ = 3y5 ,

3)xy′′′ = y′′− xy′′?

Укажите номер верного ответа в таблице 13.

		Таблица 13

1	2	3
Первое	Второе	Третье

8. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная

1.Берман Г.Н. Сборник задач по математическому анализу. –

М.: Наука, 1985.

2.Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. – М.: Наука, 1972.

3.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Высшая школа, 1978.

4.	Матвеев Н.М.	Дифференциальные	уравнения. – М.:
Просвещение, 1988.
5.	Филиппов А.Ф.	Сборник задач по	дифференциальным
уравнениям. – М.: Наука, 1992.

Дополнительная

6.Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. – М.: Наука, 1987.

7.Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные

уравнения. – М.: Наука, 1982.

8. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959.

9. ОТВЕТЫ К ТЕСТУ

				Таблица 14

№ задания	1	2	3	4	5	6

Ответ	1	3	1	3	3	2

№ задания	7	8	9	10	11	12

Ответ	1	2	4	1	3	1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.04.2015460.8 Кб31Дискр мат лекция 2.pdf
#
18.04.2015178.53 Кб51Дискретная математика. Экзамен.pdf
#
27.09.20191.41 Mб32Диссертация_Филатов_Итог.doc
#
18.04.2015793.47 Кб151Диф.исчисление ФОП ч.2.pdf
#
18.04.2015632.13 Кб77Диф.исчисление ФОП.pdf
#
18.04.2015723.38 Кб281Дифференциальные уравнения.pdf
#
18.04.2015793.29 Кб64для РИО_Зотов_методичка3.docx
#
01.05.202560.51 Кб0добрик.docx
#
01.05.202562.55 Кб1добрик.docx
#
22.03.201641.66 Кб148Догадин.docx
#
14.04.2019957.44 Кб22Дойчланд.doc