Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегралы.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

620.89 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

2.7.Геометрические приложения определенного интеграла

•Вычисление площадей

1. Если f (x) ≥ 0 на [а;b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной

кривой y = f (x) , осью Ox и прямыми x = a и x = b (рис. 6), равна: S = ∫ f (x)dx . a


					Рис. 6
			f (x) ≤ 0 на [а;b]			b
2.	Если		f (x) ≤ 0 на [а;b]		, то определенный интеграл ∫ f (x)dx ≤ 0 и по
						a
абсолютной величине равен площади соответствующей криволинейной трапеции S (рис.
		b		b
		b		b
7), т.е. S =		∫ f (x)dx		= −∫ f (x)dx .
		a		a

Рис. 7

3. Если f (x) конечное число раз меняет свой знак на отрезке [а;b], то интеграл по всему отрезку [а;b] разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам (рис. 8), или

S = ∫ f (x) dx .

y = f (x)

a	b	x
	b

Рис. 8.

Пример. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = sin x , на промежутке x [0; 2π] (рис. 9).

Рис. 9.

2π

0π +

π2π

S = ∫sin x dx +

∫sin x dx

=−cos x

(−cos x)

= 2 +

− 2

= 4 , или

S = 2∫sin x dx = 4 .

4.Если кривая задана уравнениями в параметрической форме (рис.10): х = ϕ(t) и

y = ψ(t) , где α ≤ t ≤ β и ϕ(α) = a; ϕ(β) = b .

Рис. 10 Тогда площадь криволинейной трапеции вычисляется через определенный интеграл, в котором следует провести замену переменных.

b b

S = ∫ f (x)dx = ∫ydx =

a a

y = ψ(t) x = ϕ(t)

dx = ϕ′(t) dt x = a; t = α x = b; t = β

= ∫ψ(t)ϕ′(t)dt.

S = ∫ψ(t)ϕ′(t)dt.

	α
5.	Если кривая задана в полярной системе координат уравнением ρ = ρ(ϕ) , и если

требуется вычислить площадь сектора, соответствующего центральному углу α ≤ ϕ ≤ β, то можно получить формулу для площади этого сектора.

(

)

−

ϕi

ϕ2

ϕ = α

Рис. 11

на n частей лучами:

Разобьем

площадь криволинейного

сектора

ϕ0 = α, ϕ1, ϕ2 ,...., ϕi−1, ϕi ,..., ϕn = β (рис. 11). В каждом частном угле

ϕi

возьмем луч

θi и найдем ρ(θi ) . Тогда площадь криволинейного сектора с углом

ϕi

будет равна

= 1 (ρ(θ ))2

ϕ . Следовательно,

площадь всего

«ступенчатого»

сектора будет

равна S

. Получили интегральную сумму S

. Переходя к пределу при

∑(ρ(θ ))

2 i=1

max ϕi

→ 0 , получим Sn → S . Таким образом площадь сектора равна

(n→∞)

Sсектора =

∫ρ2 (ϕ)dϕ

Пример.

Вычислить

площадь фигуры, ограниченной

лемнискатой Бернулли

ρ = a сos 2ϕ (рис. 12).

S′

Рис. 12

S = 4S

′ =

π4

cos 2ϕdϕ =2a

π4

cos 2ϕdϕ = 2a

2 sin 2ϕ

π4

== 2a

(1 −0)

= a

∫

• Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

Пусть

- некоторое тело,

расположенное вдоль оси

Ox .

Предположим,

что для

любого х (а; b) известна S = S(x)

― площадь любого сечения этого тела плоскостью,

перпендикулярной оси Ox (рис. 13).

S(xi−1 ) S(ξi ) S(xi )

	a	xi−1		ξ		xi	b
				i
				xi
				xi
Предположим, что S(x)			Рис. 13.				x . Проведем
Предположим, что S(x)		есть непрерывная			функция от		x . Проведем	плоскости
x = a, x = x1, ..., x = xn = b . Эти плоскости разобьют тело T на п слоев.
В каждом частичном промежутке [xi−1; xi ] возьмем произвольную точку ξi								[xi−1; xi ]

и построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси Ox , а направляющая представляет собой контур сечения тела T плоскостью x = ξi .

Объем такого цилиндра равен S(ξi ) xi , где S(ξi ) - площадь поперечного сечения

цилиндра, xi - его высота. Сумма объемов всех цилиндров равна Vn = ∑S(ξi ) xi . i=1

Vn представляет собой интегральную сумму для непрерывной функции S(x) на отрезке

[a;b]. Следовательно, существует конечный предел этой интегральной суммы, который по определению равен определенному интегралу.

V = ∫S(x)dx.

• Объем тела вращения

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox непрерывной на [a;b] кривой y = f (x) и ограниченное плоскостями x = a и x = b . Такое тело называется телом вращения (рис. 14).

		)
	(
f		x
=
y

Рис. 14

В этом случае произвольное сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox ,

есть круг, площадь которого равна: S = πy2 = π( f (x))2 . Тогда объем тела вращения равен

b	b	b
V = ∫S(x)dx = ∫π(f (x))2 dx		V = π∫(f (x))2 dx	.
a	a	a

• Длина дуги в декартовых координатах

Определение. Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает непрерывно, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю.

Mi	si Mi		M
	1	yi
−			n−1
M1
		xi
			B
A
	ξ	xi....... xn−1b x
a x1...xi−1i

Рис. 15. n

То есть, если длина ломаной равна Sn = ∑ Si , то длина дуги AB (рис. 15) равна i=1

S = lim ∑ Si .

max Si →0 i=1

Теорема.

Если y = f (x)

непрерывна на [a;b] и имеет непрерывную производную

′

lim

∑ Si

= S .

f (x) на [a;b], то существует

max

Si →0 i =1

Доказательство.

Пусть

yi -

приращение

данной

функции

y = f (x)

на

отрезке

−1

; x ]. По теореме Пифагора имеем

(

x )2 +

( y )2 .

Применяя

теорему

Лагранжа,

получим

yi = f (xi ) − f (xi−1) =

xi f ′(ξi ) где

ξi

[xi−1; xi ]. Тогда

Si = ( xi )2 + ( xi )2 (f ′(ξi ))2 = xi 1 + (f ′(ξi ))2 .

Т.о.

длина

вписанной

ломаной

равна

= ∑ xi 1 + (f ′(ξi ))2 .

Так

как

f ′(x) -

i=1

непрерывна,

то Sn представляет собой интегральную сумму для непрерывной функции

′

. Следовательно, предел этой интегральной суммы существует и равен

1 + (f (x))

1 + (f ′(ξi ))

′

S = maxlimx

∑ xi

= ∫

→0

1 + (f (x)) dx

i=1

ЗАМЕЧАНИЯ

а) Если верхний предел интегрирования считать переменным и обозначить через x , то

длина

дуги

будет

функцией

от

x :

S(x) = ∫

′

dx.

Тогда

1 + (f (x))

S′(x) = 1 + (f

или

1 +

dS =

′(x))

(dx)

+(dy) .

Получили формулу для дифференциала дуги dS .

б) Если кривая задана параметрически,

x = ϕ(t)

, где

α ≤ t ≤ β

то есть

ϕ(α) = a

ϕ(β) = b

y = ψ(t)

то в интеграле для длины дуги кривой следует сделать замену переменных.

S = ∫ 1 + (y′x )2 dx

= ∫ (ϕ′t )2 + (ψ′t

y = ψ(t)
x = ϕ(t)								2
dx	= ϕ′(t) dt				β		′	2
		′					ψ (t)		′
= y′	=	ψ	(t)	=	∫				′
= y′	=	′		=	∫	1 +	′		ϕ (t)dt =
x		′			α		′
		ϕ (t)			α	ϕ (t)
x = a; t			= α
x = b; t			= β

)2 dt				β		(ϕ′t )2 + (ψ′t )2 dt
)2 dt			S = ∫			(ϕ′t )2 + (ψ′t )2 dt				.
				α

в) Замена переменных проводится и в том случае, когда кривая задана в полярных

координатах,	то есть		ρ = ρ(ϕ) , где	α ≤ ϕ ≤ β.	Переходя к переменным	ρ			и	ϕ по
формулам перехода			от полярных координат к		x = ρcos ϕ		,		получим
					декартовым	ϕ
					y = ρsin
x = ρ(ϕ) cos ϕ		, при	α ≤ ϕ ≤β. В		xϕ′ = ρ′cos ϕ−ρsin ϕ			,	а	тогда
				этом случае
y = ρ(ϕ) sin ϕ					yϕ′ = ρ′sin ϕ+ρcos ϕ
				29

β	2	′ 2		β		2			2
′	2	′ 2	dϕ = ∫		′	2		′	2
S = ∫ (xϕ )		+ (yϕ )	dϕ = ∫		(ρ cos ϕ−ρsin ϕ)		+ (ρ sin ϕ+ρcos ϕ) dϕ =
α				α
= β∫ (ρ′)2 +ρ2 dϕ				β	(ρ′(ϕ))2 + (ρ(ϕ))2 dϕ
= β∫ (ρ′)2 +ρ2 dϕ				S = ∫	(ρ′(ϕ))2 + (ρ(ϕ))2 dϕ			.
α				α

Пример. Найдите длину кардиоиды ρ = a(1 + cos ϕ) (рис. 16).

S′

π			Рис. 16
π			π
S = 2S′ = 2∫	(−a sin ϕ)2	+ a2	(1 + cos ϕ)2 dϕ = 2∫ 2a2 + 2a2 cos ϕ dϕ =
0			0

= 2	π			π	ϕ dϕ = 4a 2sin		π
= 2	2 a ∫ 2 cos2		ϕdϕ = 2 2a∫cos		ϕ dϕ = 4a 2sin	ϕ	= 8a .
	0		2	0	2	2	0
		•	Поверхность тела вращения
Пусть f (x)	′
Пусть f (x)	и f (x) - непрерывны на [a;b]. Определим площадь поверхности,
образованной вращением кривой y = f (x)				вокруг оси Ox на отрезке [a;b] (рис. 17).

Рис. 17

Каждая хорда длины Si при вращении опишет усеченный конус, поверхность которого Pi равна

= 2π

yi−1 + yi

Si = 2π

yi−1 + yi

1 + (f ′(ξi ))2 .

xi → 0 , т.е.

Перейдем к пределу при max

P =

lim

π∑n [f (xi−1) + f (xi )]

1 + (f ′(ξi ))2 =

max xi →0

i=1

x 1 + (f ′(ξ

P = 2π

′

= lim 2π∑ f (ξ

)

, или

))

∫

f (x) 1 + (f (x))

max xi →0

i=1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.07.2019417.3 Кб42Ильин.rtf
#
01.05.2025625.15 Кб0ИМИТАТОР РАДАРА FURUNO.doc
#
01.03.2025167.45 Кб2имущество.docx
#
12.11.201995.75 Кб23Индивидуальная задача по ОЭИ.docx
#
01.03.202557.34 Кб3Индустриализация в СССР. Лекция ЕГЭ.doc
#
18.04.2015620.89 Кб62Интегралы.pdf
#
01.03.2025569.34 Кб0Информатика HDD.doc
#
04.05.201999.33 Кб9информационные технологии (лекции).doc
#
07.05.2019257.02 Кб6Информационные технологии в экономике(КР).doc
#
07.05.2019592.38 Кб19Информационные технологии в экономике.doc
#
22.03.2016259.06 Кб29ИППУ.rtf