Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегралы.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

621 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

A0 xn + A1xn−1 +K+ An

= x x2 + а − ∫ x2 + а dx + a ln x + x2 + а +C .

Сравнивая начало и конец равенства, получим уравнение

2∫	x2 + à dx = x			x2 + à + a ln x +			x2 + à +C , откуда
∫	x	2	+ а dx = 12		2	+ а + a ln x +		x	2		+C .
∫	x		+ а dx = 12	x x		+ а + a ln x +		x		+ а	+C .

1.6. Интегрирование простейших рациональных дробей

Дробно-рациональная функция или рациональная дробь ― это дробь вида

Pm (x) = B0 xm + B1xm−1 +K+ Bm . Qn (x)

Не ограничивая общность рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней, т.е. дробь сокращена.

Если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. m < n , то дробь называют правильной, в противном случае дробь называют неправильной.

Определение. Правильные рациональные дроби вида:

x −a

Z+ ) ,

(x − b)k

Mх

+ N

(дискриминант D =

− q < 0 ),

+ px + q

Mx + N

(

D < 0 и k - целое положительное число).

(x2 + px + q)k

называют простейшими дробями 1, 2, 3, 4 типов.

Найдем интегралы от этих дробей:

∫

dx = A ln

x −a

+C .

x −a

(x − b)−k +1

∫

dx = A∫(x − b)−k dx = A

+ C .

(x − b)

− k +1

Mõ + N

(2x + p) + (N

−

)

∫

dx =

∫

dx =

x2 + px + q

∫

2x + p

dx + (N −

)∫

+ px + q

∫

d(x2 + px + q)

+ (N −

)∫

x2 + px + q

(x +

+ (q

−

)

x2 + px + q

x +

+ (N −

)

arctg

+C .

−

q −

Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей типа 4.

Mх+ N

(2x + p) + (N −

)

4. ∫

dx = ∫

dx =

+ px + q)

=M (2x + p)dx 2 ∫ (x2 + px + q)m

Md(x2 + px + q)

=2 ∫(x2 + px + q)m

+ (N −

)∫

(x2 + px + q)m

d(x +

)

+ (N −

)∫

(x +

+ (q

−

)

x +

= t

+ (N −

)∫

q −

= a

(x2 + px + q)m−1(1

− m)

(t2

+ a2 )m

14243

Рассмотрим интеграл Im и получим для него рекуррентную формулу, т.е. формулу позволяющую вычислить интеграл Im , если мы знаем интеграл Im−1 .

Для этого рассмотрим Im−1 = ∫(t2 + a2 )m−1 =

Применим к нему формулу интегрирования по частям:

du = −(m −1) (t2 + a2 )−m

2t dt

(t2 + a2 )m−1

d v = dt

v = t

+ 2(m −1)∫

t2dt

+ 2(m −1)∫

(t 2

+ a2 ) − a2

dt =

+ a

)

m−1

+ a

)

+ a

)

m−1

+ a

)

∫

dt − а2 ∫

+ 2(m −1)

+ a

)

m−1

+ a

)

m−1

+ a

)

14424443

14243

Im−1

Таким образом, получили:

Im−1 =

+ 2(m −1)Im−1 − 2(m −1)a2 Im

(t2

+ a2 )m−1

2(m −1) −1

Im−1

2(m −1)a2 (t2

+ a2 )m−1

2(m −1)a2

Пример.

∫

2 1 −1

(t2 +1)2

2 1 1(t2 +1)

2 1 1

∫

arctg t +C .

2(t 2 +

2 +1)

2(t 2 +

1.7. Интегрирование рациональных дробей

Теорема 1.

Если

(x) = (x − a)K(x −b)k K(x2 + p x + q ) K (x

2 + p

x + q

)m ,

где

(x2 + p x + q )

и (x2

+ p

x + q

) не имеют вещественных корней, то правильная дробь

Pn (x) может быть представлена в виде:

Qm (x)

Pn (x)	=	A	+K+	B1	+	B2	+K+	Bk	+K+
Qm (x)		x − a		(x −b)		(x −b)2		(x −b)k

					12

+	Сx + D		+K+	M1x + N1					+K+	M m x + Nm					.
								)						)m
x2 + p x + q				(x2 + p	2	x + q	2			(x2 + p	2	x + q	2
	1	1

Т.е. правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простейших дробей, которые интегрируются в элементарных функциях.

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Подобное представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших рациональных дробей называют разложением ее на простейшие. При этом числа

A, B1, B2 ,...Bk , C,... и.т.д. называют неопределенными коэффициентами.

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие единственно.

Пример. Разложите правильную рациональную дробь

x2 + 2

на простейшие.

(x +1)2 (x − 2)

Решение.

Поскольку заданная

дробь может

быть

представлена

в виде

суммы

x2 + 2

простейших

дробей:

, то

нашей

задачей

x − 2

x +1

(x +1)2

(x +1)2 (x − 2)

является подобрать неопределенные коэффициенты

A, B1, B2

так, чтобы это равенство

выполнялось тождественно.

Умножив обе части равенства на наименьший общий знаменатель всех дробей, получим:

x2 + 2 = A(x2 + 2x +1) + B1(x2 − x − 2) + B2 (x − 2) .

Это равенство двух многочленов должно выполняться при всех значениях переменной x , а значит должны быть равны их коэффициенты при одинаковых степенях.

x2		1 = A + B
x2		1 = A + B
x1		1
x1	0 = 2 A − B1 + B2 .
x0	2	= A − 2B −	2B
		1	2

Из этой системы можно найти неопределенные коэффициенты A, B1, B2 .

Неопределенные коэффициенты A, B1, B2 можно найти и по-другому. Можно подставить любые значения х в правую и левую части равенства и получить систему алгебраических уравнений относительно A, B1, B2 . Ясно, что таких значений х должно

быть выбрано столько, сколько неопределенных коэффициентов входит в разложение дроби. Следует заметить, что самыми удобными для подстановки значениями переменной х являются корни знаменателя заданной рациональной дроби.

х = −1				3 = −3B						A			=		2
															2

							2						3
x = 2				6 = 9A							B1 = 13
x = 0				2 = A − 2B			− 2B			B			= −1
					1		2				2
					1		2				2
			x2 + 2				2			1						1
			x2 + 2			=		3	+	3		−				1		.
	(x	+1)2 (x −			2)	=	x − 2		+	x +	1	−		(x +			1)2	.
	(x	+1)2 (x −			2)		x − 2			x +	1			(x +			1)2

Теорема 2. Неправильную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы рационального выражения (многочлена) и правильной рациональной дроби, то

есть рациональная дробь Pn (x)

Qm (x) Pn (x)

Qm (x)

при n ≥ m представима в виде:

= M (x)+ Tk ((x)), где k < m .

Qm x

Такое представление неправильной рациональной дроби называется выделением целой части.

Пусть требуется		вычислить интеграл			∫	Pm (x)	dx . Если подынтегральная		дробь
						Q (x)
						n
неправильная,	то мы представим её в виде суммы многочлена M (x)							и правильной
рациональной	дроби		Tk (x)	, которая в	свою очередь представима			в виде	суммы

			Q (x)
			n

простейших дробей.

Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию

многочлена и нескольких простейших дробей.

Пример. ∫

x2 +2

∫

−∫

dx =

(x +1)2 (x −2)

x −2

x +1

(x +1)2

=23 ln x − 2 + 13 ln x +1 + x 1+1 +C .

1.8.Интегрирование некоторых иррациональных выражений

1.Если подынтегральное выражение содержит лишь линейную иррациональность

n ax +b (a ≠ 0) , то полезна подстановка t = n ax +b .

Пример. ∫3 xdx

t = 3 x +1

= 3∫(t3

−1)t2dt

x = t3 −1

= 3t2dt

= 3∫(t 4 −t)dt = 3

+ C = 53

−3

(x +

1) 3

−

(x +1)

+ C .

k2 ax +b,K, km ax +b )dx

2. В интегралах

вида∫R(x, k1 ax +b,

подстановку ax +b = t n , где n = НОК(k , k

,Kk

) .

3. Интеграл от простейшей квадратичной иррациональности ∫

надо сделать

ax2 +bx +c с

помощью выделения в квадратном трёхчлене ax2 +bx +c полного квадрата сводится к

одному из двух интегралов ∫

, которые являются табличными.

a ± x

Пример. ∫

= ∫

d(x −3)

−6x +13

−3)

(x −3)

= x −3 = t = ∫

= ln t + t2 + 4 + C =

t2 + 4

= ln x −3 + x2 − 6x +13 + C .

4. Интегралы вида

∫R(x2n , a2 − x2 )dx ,

∫R(x2n , a2 + x2 )dx ,

∫R(x2n , x2 − a2 )dx ,

где через R(x) обозначена рациональная функция, интегрируются с помощью следующих тригонометрических подстановок:

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025167 Кб3имущество.docx
#
12.11.201996 Кб25Индивидуальная задача по ОЭИ.docx
#
01.03.202557 Кб5Индустриализация в СССР. Лекция ЕГЭ.doc
#
01.07.2025674 Кб0Институциональная экономика.docx
#
01.07.2025139 Кб0Инструкция по выполнению практической работы1.doc
#
18.04.2015621 Кб71Интегралы.pdf
#
01.03.2025569 Кб4Информатика HDD.doc
#
04.05.201999 Кб12информационные технологии (лекции).doc
#
07.05.2019592 Кб22Информационные технологии в экономике.doc
#
07.05.2019257 Кб7Информационные технологии в экономике(КР).doc
#
22.03.2016259 Кб29ИППУ.rtf