a

x

∫ f (t)dt = 0 , то 0 = F(a) +C C = −F(a) . Тогда ∫ f (t)dt = F(x) − F(a) .

a

a

b

Положим в

последнем

равенстве

x = b ,

получим

∫ f (t)dt = F(b) − F(а) или,

a

b

заменив обозначение переменной интегрирования на x , ∫ f (x)dx = F(b) − F(a) .

a

ЗМЕЧАНИЕ

Для

разности

значений

первообразной

обычно

применяют

обозначение: F(b)− F(a)= F(x)

b .

1

xdx

1 d(x2 +1)

a

1 + x2

1

=

= 2 −1.

Пример: ∫

= ∫

0

1 + x2

0 2 1 + x2

0

b

β

то ∫ f (x)dx = ∫

′

f (ϕ(t))ϕ (t)dt .

a

α

Доказательство.

Пусть F(x) - первообразная

′

для f (x) , т.е. F (x) = f (x) .

Рассмотрим сложную функцию F(ϕ(t)). Найдем ее производную

d

′

′

′

dt F(ϕ(t))

= F (ϕ(t)) ϕ (t) =

f (ϕ(t))ϕ (t) .

Значит F(ϕ(t))- первообразная для

′

f (ϕ(t))ϕ (t) . Тогда

β

β

b

′

∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt = F(ϕ(t))

α

= F(ϕ(β))− F(ϕ(α))= F(b) − F(a) = ∫ f (x)dx .

α

a

a

a

1). Если f (x) - четная функция, т.е.

f (−x) = f (x) , то ∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx .

−a

0

a

0

a

Действительно,

∫ f (x)dx = ∫ f (х)dх+ ∫ f (х)dх.

Сделаем

подстановку

в первом

−a

−a

0

x

= −t

интеграле

x

= −a t = a

. Тогда

x

= 0

t = 0

0

0

0

а

а

∫ f (х)dх = −∫ f (−t)dt = −∫ f (t)dt = ∫ f (t)dt =

t = x

= ∫ f (x)dx .

−a

а

а

0

0

a

a

a

a

Следовательно,

∫

f (t)dt = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx .

−а

0

0

0

a

2). Если f (x) - нечетная, т.е. f (−x) = − f (x) , то

∫ f (x)dx

= 0 .

−a

Действительно,

a

0

a

x

= −t

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx =(подстановка

x

= −a t = a

в

первом

−a

−a

0

x

= 0

t =

0

0

a

0

a

a

интеграле) = −∫ f (−t)dt + ∫ f (t)dt = ∫ f (t)dt + ∫ f (t)dt = ∫ f (t)dt = 0 .

a

0

a

0

a

2.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть u(х) и v(х) - дифференцируемые функции.

Тогда (u v)

′

′

′

.

= u v +uv

Интегрируя обе части тождества в пределах от a до b , получим:

b

′

b

b

b

b

′

′

∫udv ,

∫(u v)

dx = ∫u vdx +

∫uv dx = ∫vdu +

a

a

a

a

a

b

так как ∫(uv)′dx = uv +C , то ∫(uv)′dx = (uv)

ba . Получили формулу

a

b

b

∫udv = uv

ba − ∫vdu ,

a

a