|
|
|
|
x −5 = t |
|
|
2t5 |
|
10t3 |
|
|
|
2) ∫x x −5dx = x = t2 +5 |
= ∫(t2 +5) t 2tdt = |
+ |
+C = |
|||||||
|
|
|
|
dx = 2tdt |
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2( x −5 )5 |
+ |
|
10( x − 5 )3 |
+ С . |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
Если F(x) |
- |
первообразная для f (x) , то |
из |
равенства (1) следует, что если |
||||||
|
|
|
∫ |
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
= F(u) +C . |
|
|
|
|
|
|
f (x)dx = F(x) +C , то f (u) u dt |
|
|
|
|
|
|||||
du
Отсюда ∫ f (u)du = F(u) +C . На основании этого свойства получаем обобщенную
таблицу простейших интегралов, заменяя формально x на u , где u - любая непрерывно дифференцируемая функция от независимой переменной, т. е. u(õ) . Так, например,
∫u ndu = |
u n+1 |
|
+C , где (n ≠ −1) или ∫ |
du |
= ln |
|
u |
|
+C и т.д. |
|
|
|
|
||||||||
n +1 |
u |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отметим ряд преобразований дифференциала, полезных для дальнейшего:
1)dx = d(x +b) , где b = const ;
2)dx = 1a d(ax +b) , где a ≠ 0 ;
3)xdx = 12 d(x2 ) ;
4)sin xdx = −d(cos x) ;
5)cos xdx = d(sin x) ;
6)1x dx = d(ln x) ;
7)exdx = d(ex ) и т.д.
Вообще, |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь этими преобразованиями дифференциала, |
|||||||||||||||||||
ϕ (х)dx = d(ϕ(x)) . |
||||||||||||||||||||||||||||
найдем следующие неопределенные интегралы. |
||||||||||||||||||||||||||||
Примеры. |
|
|
|
|
1 |
d(2x +3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∫ |
|
dx |
= ∫ |
|
|
|
= |
|
|
1 |
ln |
|
2x +3 |
|
|
+C . |
|||||||||||
1) |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2x +3 |
|
|
|
2x +3 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
∫xex2 dx = |
1 |
∫ex2 d(x2 ) = |
|
x2 = u |
|
= |
1 |
∫åu du = |
1 |
eu +C = |
1 |
ex2 +C . |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
Сформулируем еще одно очень полезное правило:
если ∫ f (x)dx = F(x) +C , то ∫ f (аx +b)dx = 1a F(ax +b) +C , где a ≠ 0 , так как ∫ f (аx +b)dx = 1a ∫ f (аx +b)d(аx +b) = 1a F(ax +b) +C .
Пример. ∫cos(3x +1)dx = 13 sin(3x +1) +C .
1.5. Интегрирование по частям
Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции от x . На основании формулы дифференциала произведения имеем:
d(uv) = udv + vdu udv = d(uv) −vdu
Интегрируя это соотношение, получим ∫udv = ∫d(uv) − ∫vdu , которое можно записать в
виде
∫udv = u v − ∫v du .
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.
9
Эта формула оказывается удобной, если интеграл ∫v du является табличным или легко сводится к такому.
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегралы, берущиеся "по частям" |
|
|||||||||||
1. Интегралы вида ∫Рп(х) |
f (x) dx , где Pn (x) |
― многочлен степени n , f (x) ― |
||||||||||||||||||
одна из следующих функций: sin αx; cos αx; eαx; aαx . |
|
|
||||||||||||||||||
В качестве функции u(x) следует взять многочлен Pn (x) |
и применить к интегралу |
|||||||||||||||||||
формулу интегрирования по частям n раз. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
u = x |
|
|
du = dx |
|
|
|
|
|||||
1) ∫x cos xdx = |
|
dv |
|
|
|
= x sin x − ∫sin xdx = |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= cos xdx |
|
v = sin x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
= x sin x + cos x +C . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2) ∫х2ехdx = |
|
|
|
|
u = x2 |
du = 2xdx |
|
= x2ех − 2∫хехdx |
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
dv = е |
х |
dx |
|
v = е |
х |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
u = x |
|
du = dx |
|
= x2ех − 2(xex − |
∫ехdx) = |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
dv = |
е |
х |
dx |
|
v = е |
х |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= x2åõ − 2(xex −ex ) +C . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. Интегралы вида ∫хп ln k |
x dx , где п ≠ −1, берутся «по частям», если за функцию |
|||||||||||||||||||
u(x) принять ln k x и применить k раз к интегралу формулу интегрирования по частям.
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ln 2 xdx = |
|
u = ln 2 x |
du = 2 ln x |
1 |
|
dx |
|
= x ln 2 x − 2∫x ln x |
1 |
dx = |
||||
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
dv = dx |
v = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= x ln 2 x − 2∫ln xdx = |
u = ln x |
du = |
|
dx |
= x ln 2 x − 2(x ln x − ∫dx)= |
|||||||||
x |
||||||||||||||
|
|
|
dv = dx |
v = x |
|
|
|
|
||||||
|
|
= x ln 2 x − 2(x ln x − x)+C . |
|
|
|
|||||||||
3. Интегралы вида ∫хп |
f (x) dx , |
где |
|
f (x) ― одна |
из следующих функций: |
|||||||||
arcsin k αx; arccosk αx; arctgk αx; arcсtgk αx , также берутся |
"по частям", причем за |
|||||||||||||
функцию u(x) выбирают f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. В некоторых случаях для сведения данного интеграла к табличному применяется формула интегрирования по частям и искомый интеграл определяется из получившегося алгебраического уравнения. К таким интегралам относятся следующие
интегралы: ∫eαx cosβx dx , ∫eαx sin βx dx и ∫
x2 ± a dx .
Пример.
∫ |
|
x2 |
|
|
u = x2 + а |
|
du = |
|
x |
dx |
|
|
|
|
+ а dx = |
|
|
|
= |
|
|||||||
|
|
dv = dx |
|
|
x2 + а |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v = x |
|
|
|
||
= x x |
2 |
+ а − ∫ |
x2 |
dx = x x |
2 |
+ а − ∫ |
(x2 |
+ a)− a |
dx = |
||||
|
|
|
|
|
x2 + а |
|
|||||||
|
|
|
|
x2 + а |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= x x2 + а − ∫ |
x2 + a dx + a∫ |
|
1 |
dx = |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x2 + а |
|
|
x2 + а |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|