2.2. Основные свойства определенного интеграла

b

b

∫Af (x)dx = A∫ f (x)dx , A = const , если эти интегралы существуют.

a

a

b

n−1

Действительно, ∫Af (x)dx =

lim

∑Af (ξi ) xi =

a

max

xi

→0 i=0

n−1

xi = A lim

n−1

b

lim

A ∑ f (ξi )

∑ f (ξi )

xi = A∫ f (x)dx .

max xi

→0

i=0

max xi

→0 i=0

a

b

b

b

∫( f1(x) + f2 (x))dx = ∫ f1(x)dx + ∫ f2 (x)dx

a

a

a

если f1 (х) и

f2 (х) - интегрируемые на [а;b]

функции.

b

n−1

Так как ∫( f1(x) + f2 (x))dx =

lim

∑( f1 (ξi ) + f2 (ξi ))

xi =

a

max xi →0 i=0

n−1

n−1

b

b

=

lim

∑ f1(ξi ) xi +

lim

∑ f2 (ξi ) xi = ∫ f1 (x)dx + ∫ f2 (x)dx .

max

xi →0 i=0

max

xi

→0 i=0

a

a

30. Если

на

отрезке [а;b],

где

а < b ,

интегрируемые

функции

f (x) и

g(x)

b

b

удовлетворяют условию

f (x) ≤ g(x) , то ∫ f (x)dx ≤ ∫g(x)dx .

a

a

b

b

b

Доказательство. Рассмотрим разность ∫g(x)dx − ∫ f (x)dx = ∫(g(x) − f (x))dx .

х [а; b],

a

a

a

Так как

g(х) − f (х) ≥ 0

то, по

геометрическому смыслу

определенного

b

b

b

интеграла, ∫(g(x) − f (x))dx ≥ 0

∫ f (x)dx ≤ ∫g(x)dx .

a

a

a

40. Если m и M - наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции

f (x)

b

на отрезке [а;b] и а ≤ b , то m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a) .

a

b

Доказательство. По условию m ≤ f (x) ≤ M , тогда ∫mdx ≤

a

b

b

b

n−1

∫Mdx .

Но

∫mdx = m∫dx = m

lim

∑ xi = m(b − a) .

Аналогично,

a

a

a

max xi

→0 i=0

y

A2

B2

M

A

B

m

A1

B1

a

b

x

Доказательство. Пусть для определенности

а < b .

Непрерывная на отрезке [а;b]

функция

f (x)

ограничена на нем. Пусть m ≤ f (x) ≤ M . Тогда

b

m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a) .

a

1

b

Разделив это равенство на (b − a) ,

получим m ≤

∫ f (x)dx≤ M . Если обозначить

b − a

a

1

b

∫ f (x)dx = μ, то m ≤ μ ≤ M .

b − a

a

Так как

f (x)

- непрерывна, то она принимает все значения, заключенные между

числами

m

и

M .

Следовательно, ξ [a;b],

такое, что f (ξ) = μ, т.е.

1

b

b

f (ξ) =

∫ f (x)dx . Из последнего равенства следует ∫ f (x)dx = (b − a) f (ξ) , где

b − a

a

a

ξ [a;b].

b

a

60. Из определения определенного интеграла ∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx .

а

b

70.

Для

любых

трех

чисел

a, b, c

справедливо

равенство

b

c

b

∫ f (x)dx

= ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx , если только все три интеграла существуют.

a

a

c

b

c

интегральную сумму ∑ , соответствующую отрезку [а;b], на две суммы:

∑ - сумму,

a

a

соответствующую [а;c]

b

и ∑ - сумму, соответствующую [c;b]. Тогда

c

b

c

b

xi .

∑ f (ξi ) xi = ∑ f (ξi )

xi + ∑ f (ξi )

a

a

c

Переходя к пределу при max xi

→ 0 , получим

b

c

b

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx .

a

a

c

Если же, например,

a < b < c , то на основании доказанного свойства определенного

c

b

c

интеграла

справедливо

равенство:

∫ f (x)dx

= ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

a

a

b

b

c

c

∫ f (x)dx

= ∫ f (x)dx − ∫ f (x)dx

. Тогда по свойству 60:

a

a

b

b

c

b

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx .

a

a

c

[а;b].

x

Пусть

f (x)

-

непрерывна

на

Рассмотрим

интеграл ∫ f (t)dt , где

t [a; x] [a;b]

a

(во

избежание

путаницы,

переменная интегрирования обозначена

другой буквой).

a этот интеграл

При постоянном

будет

представлять

собой функцию верхнего

x

предела x . Эту функцию мы обозначим через Φ(x) = ∫ f (t)dt .

a

Если

f (x) ≥ 0 , то величина Φ(x) численно равна площади криволинейной трапеции