x = a cost (asin t)

∫R(x2n ,

a2 − x2 )dx =

a2 − x2 =

a2 − a2 cos2 t = asin t ;

dx = −asin t dt

x = a tg t (a ctg t)

∫R(x2n , a2 + x2 )dx = a2 + x2 = a

1

;

a

cost

dx =

dt

cos2 t

x = a ch t (ash t)

∫R(x2n , x2 − a2 )dx = x2 − a2 = a ch2 t −1 = ash t .

dx = ash t dt

dx

x = a cost

= ∫ − a3sin t3dt

Пример.

∫

=

a2

− x2 = asin t

=

(a2 − x2 )3

dx

= −asin t dt

a

sin

t

= −

1

∫

dt

=

1

ctg t + C =

t

= arccos

x

=

2

2

2

a

a

sin

t

a

x

1

x

1

cos arccos

=

ctg arccos

+ C =

a

+ C =

a2

a

a2

sin arccos

x

a

x

1

1

x

1

x

=

a

+ C =

+ C =

+C .

a

2

1 − cos2 arccos

x

a

2

x

2

a

2

a

2

− x

2

a 1 −

a

a

2

Для интегралов вида

∫R(x2n+1, a2 − x2 )dx ,

∫R(x2n+1, a2 + x2 )dx ,

Рассмотрим интеграл вида

∫R(sin x, cos x)dx ,

где

R(sin x, cos x)

― рациональная

функция своих аргументов.

Сделаем подстановку tg

х

= t . Тогда:

2

2dt

2 tg

х

2t

, cos x =

1 − tg

2 х

=

1 −t 2

x = 2arctgt dx =

.

sin x =

2

=

2

.

1 +t2

1

+ tg 2

х

1

+t 2

1 + tg

2

х

1 + t 2

2

2

2t

1 − t2

2dt

∫R

1

+ t

2 ,

1 + t

2

1 + t

2 .

15