|
∂2u |
|
= |
∂2u |
, |
|
∂2u |
= |
∂2u |
, |
|
∂2u |
= |
∂2u |
. |
||||||
|
∂x∂y |
∂y∂x |
|
∂x∂z |
∂z∂x |
|
∂y∂z |
∂z∂y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Следовательно, существует шесть различных частных |
|||||||||||||||||||||
производных второго порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂2u |
|
∂2u |
|
∂2u |
|
∂2u |
|
|
∂2u |
|
∂2u |
|
||||||||
|
∂x2 |
, |
∂y2 |
, |
∂z2 , |
|
, |
|
, |
|
|
. |
|
||||||||
|
∂x∂y |
∂x∂z |
|
∂y∂z |
|
||||||||||||||||
Решение задачи
∂∂ux = 3x2 y3z4 + 4z2 y2 x3 + cos(x + y − 2z),
|
|
|
∂u |
= 3x3 y2 z4 + 2z2 yx4 + cos(x + y − 2z), |
|||
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
∂u = 4x3 y3z3 + 2zy2 x4 − 2 cos(x + y − 2z). |
||||
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
||||
|
|
∂2u |
= 6xy3z4 +12z2 y2 x2 − sin(x + y − 2z), |
||||
|
|
∂x2 |
|
|
|
||
|
|
|
∂2u |
= 6x3 yz4 + 2z2 x4 −sin(x + y − 2z), |
|||
|
|
|
∂y2 |
|
|||
|
|
∂2u |
=12x3 y3z2 + 2 y2 x4 − 4 sin(x + y − 2z), |
||||
|
|
∂z2 |
|
|
|
||
|
|
|
∂2u |
|
|
= 9x2 y2 z4 +8z2 yx3 −sin(x + y − 2z), |
|
|
|
|
∂x∂y |
||||
|
|
|
|
||||
|
∂2u |
|
=12x2 y3z3 +8zy2 x3 + 2 sin(x + y − 2z), |
||||
|
∂x∂z |
||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
∂2u |
|
=12x3 y2 z3 + 4zyx4 + 2sin(x + y − 2z). |
||
|
|
∂y∂z |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
9
Задача 5
Вычислить d 3u для функции u = cos(x − y2 ).
Справочный материал
Для дифференциала третьего порядка (третьего дифференциала) справедлива формула
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d 3u = |
|
dx + |
|
|
dy |
|
= |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
∂3u |
(dx)3 |
+ 3 |
∂3u |
(dx)2 dy + 3 |
∂3u |
|
dx(dy)2 |
+ |
∂3u |
(dy)3 . |
|||||
∂x3 |
∂x2∂y |
∂x∂y2 |
∂y3 |
|||||||||||||
Решение задачи
Вычислим производные первого порядка:
∂∂ux = −sin(x − y2 ); ∂∂uy = −sin(x − y2 )(− 2 y)= 2 ysin(x − y2 ).
Вычислим производные второго порядка:
∂2u = −cos(x − y2 ); ∂x2
∂2u = 2sin(x − y2 )+2 y cos(x − y2 )(−2 y)= ∂y2
= 2 sin(x − y2 )− 4 y2 cos(x − y2 );
∂2u = −cos(x − y2 )(− 2 y)= 2 y cos(x − y2 ).
∂x∂y
Вычислим производные третьего порядка:
∂3u |
= sin(x − y2 ); |
∂3u |
= 2cos(x − y2 )(− 2 y)− |
∂x3 |
|
∂y3 |
|
−8 y cos(x − y2 )−4 y2 (−sin(x − y2 ))(−2 y)=
=−12 y cos(x − y2 )−8 y3 sin(x − y2 );
10
∂3u |
|
= sin(x − y2 )(− 2 y)= −2 ysin(x − y2 ); |
|
∂x2∂y |
|||
|
|
||
∂3u |
|
= 2cos(x − y2 )− 4 y2 (− sin(x − y2 ))= |
|
∂x∂y2 |
|
||
|
|
= 2 cos(x − y2 )+ 4 y2 sin(x − y2 ).
Третий дифференциал заданной функции имеет вид: d 3u = sin(x − y2 )(dx)3 − 6 y sin(x − y2 )(dx)2 dy +
+6(cos(x − y2 )+ 2 y2 sin(x − y2 ))dx(dy)2 +
−4(3y cos(x − y2 )+ 2 y3 sin(x − y2 ))(dy)3 .
Задача 6
Вычислить |
y′ |
|
|
для |
функции |
|
y(x), заданной |
неявно |
||||
y = x2ex2 +y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Справочный материал |
|
|
|
|||||||
Если уравнение |
F(x, y)= 0 задает функцию |
y(x), явный вид |
||||||||||
зависимости которой не известен, то производную |
y′ |
определяют из |
||||||||||
формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂F |
∂F |
|
|
|
|
||
|
|
y |
′ |
= − |
∂x |
|
≠ 0 . |
|
|
|
||
|
|
∂F , если |
∂y |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи |
|
|
|
|||||
Поскольку |
уравнение |
y = x2ex2 + y2 |
можно |
записать |
в виде |
|||||||
y − x2ex2 + y2 |
= 0 , то функция F(x, y)= y − x2ex2 + y 2 |
. Тогда |
|
|||||||||
11
y′ = − |
−2xex2 + y 2 |
− x2ex2 + y 2 |
2x |
. |
1 −2x2 y ex2 + y 2 |
|
|||
|
|
|
||
Упрощая полученное выражение, запишем
y′= 2xex2 + y 2 (1 + x2 ). 1 − 2x2 y ex2 + y 2
Задача 7
Найти частные производные ∂∂xz и ∂∂yz для функции z(x, y),
заданной неявно x ln ( y + z) = 
xz .
Справочный материал
Если уравнение F(x, y, z)= 0 |
|
задает |
в |
окрестности |
точки |
|||||||||
однозначную дифференцируемую функцию |
z = z(x, y), то во всех |
|||||||||||||
точках, где выполняется |
условие |
∂F |
|
≠ 0 , |
частные производные |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|||
функции z = z(x, y) вычисляются по формулам |
|
|
||||||||||||
|
∂z |
|
|
∂F |
|
|
|
∂z |
|
∂F |
|
|
||
|
= − |
∂x |
|
; |
|
= − |
∂y |
. |
|
|||||
|
∂x |
|
|
|
∂F |
|
||||||||
|
|
|
∂F |
|
|
|
∂y |
|
|
|||||
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
Решение задачи |
|
|
|
|
|||||||||
Уравнение x ln ( y + z) = |
xz |
|
можно |
записать в |
виде |
|||||||||
x ln ( y + z) − 
xz = 0 . Тогда F(x, y, z)= x ln ( y + z) − 
xz .
∂z
∂x
|
ln(y + z)− |
z |
|
|
||||
= − |
2 x |
|
; |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
− |
|
x |
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
y + z |
|
z |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
∂z |
= − |
|
|
y + z |
|
|
. |
||
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
− |
|
x |
|
|||
|
|
|
y + z |
2 |
z |
||||
12