−

7π

i

7π

7π

4

Re 2 e

−

−

=

= Re 2 cos

4

+ i sin

4

=

7π

= 2

2

= 2 .

2 cos −

2

4

Задача 3

Вычислить i128 −6i79 +3i11 +i5 .

Решение задачи

Учитывая, что

i2 = −1,

и (−1)2n =1, (−1)2n +1 = −1 ,

Задача 4

(

2 − 6 i)11

Вычислить

.

(

3 +i)7

Решение задачи

Представим

числа

2 −

6 i

и

3 +i

в показательной

форме:

π i

2 −

6 i =

8 e

−

3 ;

π i

,

3 +i = 2e 6

и возведем их в степени:

( 2 −

π

11

11π

11

−

i

16

−

i

6 i)

=

8e

3

= 2

2e

3

,

π

7

7 π

7

2 e 6

i

= 2

7

e

i

( 3 + i )

=

6

.

Тогда

( 2 − 6 i)11

216

2e−

11π

i

29π

=

3

=

9

2e

−

i

7

7π

2

6 .

(

3 +i)

27 e

i

6

Так как

−

29π

i

29π

29π

π

6

−

−

5π

−

e

= cos

6

+isin

6

= cos

6

−

5π −

π

= −cos

π

−i sin

π

= −

3

−i

1

,

−i sin

6

6

6

2

2

получаем(

2 −

6 i)11

9

3

1

8

7

−

−i

= −2 2( 3 +i).

= 2 2

2

2

( 3 +i)

Задача 5

Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 5 −1 +i .

Справочный материал

Извлечь корень натуральной степени

n

из числа z - значит

найти такое число w = n z , n - я степень которого равна z.

Если z = reiϕ , то

n z = n reiϕ = n rei

ϕ+2πk

n

=

ϕ + 2πk

+ isin

ϕ + 2πk

k

= 0,1,K, n −1 .

= n r cos

n

n

,

Все n различных значений n z

имеют один и тот же модуль,

равный n r . Аргументы значений w и w

+1

отличаются один от

k

k

другого на

2π

. Поэтому точки, соответствующие значениям n z ,

n

n -

угольника,

вписанного в

являются вершинами правильного

окружность радиуса n r с центром в начале координат.

Решение задачи

Найдем модуль и аргумент числа z = −1 +i :

r =

z

= (−1)2 +1 = 2 ,

ϕ = arg z = arctg

1

+π = −

π

+π =

3π

.

−1

4

4

Следовательно,

3π

3π

+

2πk

+

2πk

5 −1 +i

= 5

4

4

2

cos

+i sin

.

5

5

Полагая

k = 0,1,2,3,4 ,

найдем пять

различных

значений

корня:

k = 0

w

= 5

−1 +i =10

2

3π

+isin

3π

cos

,

0

20

20

k =1

w

= 5

−1 + i = 10

11π

+ isin

11π

2 cos

,

1

20

20

k = 2

w

= 5

−1 +i =10

2

19π

+isin

19π

cos

,

2

20

20

k = 3

w

= 5

−1 +i =10

2

27π

+isin

27π

cos

,

3

20

20

k = 4

w

= 5

−1 +i =10

35π

+isin

35π

2 cos

.

4

20

20