pz_grafy_

Оглавление.

.2.1. Виды графов, способы их задания, операции над графами

3

2.1.1. Операции, производимые над графами

3

2.1.2. Изоморфизм графов

6

2.2. Матрицы, связанные с графом

8

2.3. Маршруты, цепи, циклы . Связные графы

14

2.4. Метрические характеристики графа. Взвешенные графы

15

2.6. Нахождение кратчайших маршрутов

16

2.6.1. Алгоритм Форда–Беллмана

16

2.6.2. Алгоритм Дейкстры

20

2.7 .Эйлеровы циклы и графы

27

2.8. Гамильтоновы циклы и графы . Решение задачи

коммивояжера методом ветвей и границ

28

2.9. Упорядоченные и бинарные деревья

36

2.10. Остов минимального веса. Алгоритм Краскала.

37

2.11. Фундаментальные циклы и фундаментальные разрезы

38

2.12. Плоские и планарные графы. Критерии планарности графа.

42

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

G5 :

(4,1)

(4,2)

(4,3)

Рис.2.4

4) Построим кольцевую сумму G G1 G2

(V , E) графов G1 и G2 , где

V V1 V2 , E E1 E2

(E1 \ E2 ) (E2 \ E1 ) . В данном случае

1

2

G6 :

4

3

Рис. 2.5

5

2.1.2. Изоморфизм графов

Графы, которые получаются один из другого переименованием вершин,

не различаются. Два графа G1 (V1 , E1 )

и G2 (V2 , E2 ) называются изо-

морфными,

если существует биекция

f :V1 V2 такая, что для любых

двух вершин u и v графа G1

их образы

f (u) и f (v)

смежны в G2 тогда и

только тогда, когда u и v смежны в G1 . Для изоморфных графов использу-

ется обозначение G1 G2 .

Задача 2.2 Являются ли изоморфными графы G1

и G2 , изображенные

на рис. 2.6

4

6

2

5

1

3

G1

G2

Рис.2.6

Решение. Графы G1 и G2

являются изоморфными. Это легко устано-

вить, если перенумеровать вершины графа G2 так, как это показано на

рис.2.7. Тогда при взаимно однозначном отображении

f : k k'

( k 1,2,3,4,5,6 ) две вершины k ' и j'

смежны тогда и только тогда, когда

смежны k и

j

1'

2'

5'

6'

4'

3'

6

1, если вершина i начало ребра,конец которогов вершине j

aij

0,

в

противном случае

Матрица смежности для орграфа – несимметричная матрица из нулей и

единиц, на главной диагонали которой находятся нули.

Матрицей инцидентности (n, m) –неорграфа G (V , E) называется бинар-

ная матрица размерности n m с матричными элементами

1, если вершина k и ребро e j

инцидентны

I kj

.

0

в противном случае

Для ориентированных графов матрица инцидентности B (bij ) , где

i 1,2,..., n , j 1,2,..., m ,:

I kj

1, если вершина k является началом дуги e j

,

I kj

1, если вершина k является концом дуги e j ,

I kj

0 , если вершина k и дуга e j

не инцидентны или если дуга e j являет-

ся петлей.

Поскольку каждая дуга инцидентна двум различным вершинам, за ис-

ключением того случая, когда дуга образует петлю, то каждый столбец мат-

рицы инцидентности либо содержит один элемент, равный 1, и один – рав-

ный –1, либо все элементы столбца равны нулю.

Задача 2.5. Для графа G , приведенного на рис.2.11, найти матрицу

смежности AG и

матрицу инцидентности I G

1

e1

2

e7

e6

e4

e2

e5

4

e3

3

Рис. 2.11

Решение. Матрица смежности и матрица инцидентности имеют вид

9