pz_grafy_

ся ветвями, которые образуют остов T графа. Если из остова удалить произвольную ветвь ei , где i v n c 1,..., m , то получится лес, имеющий (с+1) компонент связности, т.е. каждое ребро из остова является разрезом

единяют вершины из V1 с вершинами из V2 .

Фундаментальным разрезом графа G относительно ветви ei остова T называется простой разрез, образованный множеством

относительно остова T называется множество K {K1 , K2 ,..., Kn c }всех фундаментальных разрезов графа G . Число элементов множества K равно корангу (G) n c . Оно не зависит от выбора остова T .

Каждый фундаментальный разрез Ki содержит ровно одну ветвь – ei .

Матрицу K фундаментальных разрезов графа G . можно представить в K 2 – единичная матрица порядка n c .

K1 C2T ,где C (C1 | C2 ) – соответствующая матрица фундаментальных

циклов Задача 2.18. Найти матрицу фундаментальных разрезов графа

G (V , E) , изображенного на рис. 2.20.

Решение. В данном случае n c 6 1 5 . Следовательно, имеется пять фундаментальных разрезов.

Ребру 4 соответствует коцикл K1 {1,4}, так как при удалении ребра 4 из остова T множество вершин V разбивается на две части {v1} и V \ {v1}.

41

Ребру 8 соответствует коцикл K5 {3,8}. Следовательно матрица фундаментальных разрезов имеет вид

2.12. Плоские и планарные графы

Плоским называется граф, вершины которого являются точками плоскости, а ребра– непрерывными линиями на плоскости без самопересечений и никакие два ребра не будут иметь общих точек, кроме, может быть, общего конца этих ребер. Планарным называется неорграф G , изоморфный плоскому графу. Всякий подграф планарного графа планарен.Граф планарен тогда и только тогда, когда каждая его связная компонента – планарный граф.

Гранью плоского графа называется максимальное по включению множество точек плоскости, каждая пара которых может быть соединена жордановой кривой, не пересекающей ребра графа. Всякий плоский граф имеет одну (единственную) неограниченную грань. Такая грань называется внешней, а остальные грани внутренними.

Для всякого связного плоского графа верно равенство

где n, m, f число вершин, ребер и граней соответственно.

.Для связного планарного (n, m) графа при n 3 выполняется неравенство m 3n 6 .

Графы K5 и K3,3 являются минимальными непланарными графами.

Критерии планарности графа

1. Граф G планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфа, гомеоморфного K5 или K3,3 .

42

Рис.2.21

2.. Неорграф G планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, стягиваемых к графу K5 или K3,3 .

На рис. 2.22 изображен граф Петерсена, который в соответствии с теоремой Вагнера не является планарным, так как его можно стянуть к графу

K5 , если стянуть пять ребер, соединяющих вершины внутреннего и внешнего циклов.

Задача. 2.19. Проверить выполнение условия планарности графа, изображенного на рис.2.23 , найти число его граней. Доказать, что заданный граф является планарным, показать на чертеже все грани графа.

Решение. В данном случае граф не содержит подграфа, гомеоморфного графам K5 или K3,3 .

43

6 e13 e12 e14 7

Рис.2.23

Плоскую укладку данного графа можно получить, если ребро e6 расположить так, как это указано на рис. 2.24. Число граней данного графа равно 8 ( с учетом внешней грани). Эти грани ограничены ребрами: 1) {e1 , e2 , e3}, 2)

{e4 , e5 , e10}, 3) {e7 , e12 , e8 }, 4) {e5 , e7 , e3 }, 5) {e11, e9 , e8 }, 6) {e12 , e13 , e14},

7) {e1 , e2 , e9 , e11, e6 }, 8) внешняя грань.

6 e13 e12 e147

Рис 2.24

Для раскраски граней этого графа достаточно трех красок: одной краской раскрашены грани 1), 2), 3), другой краской грани 5), 6) и внешняя грань,

44

третьей краской грани 6) и 7). Известно, что для всякого связного плоского

графа верно равенство

n m f 2 ,

где n, m, f число вершин, ребер и граней соответственно.

n m f 8 14 8 2 , что соответствует плоской укладке графа. Сле-

довательно, заданный граф (рис.2.23) является планарным.

Задача 2.20. Выяснить, являются ли планарными графы, изображенные на рис.2.25 и на рис. 2.26.

6 7

Рис. 2.26

45