Задача №1

Задание Для заданного составного сечения определить положение главных центральных осей инерции сечения и рассчитать главные моменты инерции сечения.

Исходные данные. Справочные величины:

Каждый элемент сечения уголок(№11/7(8))-1, швеллер(№20)-2, прямоугольник-3 вычерчиваем на чертеже собственные центральные оси для каждого составного элемента сечения z_iy_i (координаты ЦТ берутся из справочника) и относим их к параллельным осям Z₀Y₀.

-для уголка:

F₁=1390 мм² – площадь поперечного сечения

z₁=36.1 мм; y₁=16.4 мм – координаты центра тяжести

I_zc1=546000 мм⁴; I_yc1=1720000 мм⁴ – осевые моменты инерции

I_{u min}=323000 мм⁴ - главный момент инерции

tgα=0.400 – угол наклона главных осей

-для швеллера:

F₂=2340 мм² – площадь поперечного сечения

z₂=100 мм; y₂=20.7 мм – координаты центра тяжести

I_zc2=1130000 мм⁴; I_yc2=15200000 мм⁴ – осевые моменты инерции

Решение:

Сечение, вычерченное в масштабе, относим к осям координат Z₀Y₀, параллельным сторонам контура сечения.

• для прямоугольника:

F₃=4000 мм² – площадь поперечного сечения

z₃=10 мм; y₃=100 мм – координаты центра тяжести

рис.1

1. Определение координат центра тяжести сечения относительно произвольных осей z0y0.

Статические моменты отдельной фигуры относительно оси Z₀:

S_z1=y₁∙F₁=146.4∙1390=203496 мм³ – уголка;

S_z2=y₂∙F₂=259.3∙2340=606762 мм³ – швеллера;

S_z3=y₃∙F₃=100∙4000=400000 мм³ – прямоугольника;

Статический момент всего сечения относительно оси Z₀:

S_z0= S_z1+ S_z2+ S_z3=203496+606762+400000=1210258 мм³

Статические моменты отдельной фигуры относительно оси Y₀:

S_y1=z₁∙F₁=0∙1390=0 мм³ – уголка;

S_y2=z₂∙F₂=63.9∙2340=149526 мм³ – швеллера;

S_y3=z₃∙F₃=153.9∙4000=615600 мм³ – прямоугольника;

Статический момент всего сечения относительно оси Y₀:

S_y0= S_y1+ S_y2+ S_y3=0+149526+615600=765126 мм³

(значения y_i и z_i снимаем с чертежа сечения)

Координаты центра тяжести сечения относительно осей Z₀Y₀:

мм – координата центральной оси сечения Z_c

мм – координата центральной оси сечения Y_c

где F₀= F₁+F₂+F₃=1390+2340+4000=7730 мм² –площадь всего сечения

2. Определение моментов инерции сечения

Для учета параллельного переноса осевых моментов инерции отдельных фигур используем поправку Штейнера (a_i²∙F_i) прибавляя ее к осевому моменту инерции относительно собственных центральных осей отдельной фигуры Z_ci и Y_ci.

Момент инерции всего сечения относительно оси Z_c:

I_zc=(I_zc1+a₁²∙F₁)+(I_zc2+a₂²∙F₂)+(I_zc3+a₃²∙F₃)

I_zc=(546000+(-10)²∙1390)+(1130000+(102)²∙2340)+(13333333+(-56)²∙4000) = 52648839 мм⁴

Момент инерции всего сечения относительно оси Y_c:

I_yc=(I_yc1+b₁²∙F₁)+(I_yc2+b₂²∙F₂)+(I_yc3+b₃²∙F₃)

I_yc=(1720000+(-99)²∙1390)+(15200000+(-35)²∙2340)+(133333+(55)²∙4000) = 45615664 мм⁴

Центробежный момент инерции всего сечения относительно оси Z_cY_c:

I_yczc=(I_yc1zc1+a₁∙ b₁∙F₁)+(I_yc2zc2+a₂∙ b₂∙F₂)+( I_yc3zc3+a₃∙ b₃∙F₃)

При вычислении центробежного момента инерции составного сечения следует иметь в виду, что I_yc2zc2 и I_yc3zc3 будут равны нулю, так как их собственные центральные оси являются главными и параллельны центральным осям всего сечения.

Вычислим центробежный момент уголка относительно осей Z_cY_c:

Исходя из равенства:

I_max+I_min=I_xc+I_yc, то I_max=I_xc+I_yc- I_min

-для неравнобокого уголка

-для равнобокого уголка

где  - угол между осью Z_С1 и главной осью U уголка (рис.1). Знак угла  берем, исходя из рис.2:

рис.2