Метод переменных состояний
предназначен для получения ММС как системы ОДУ в форме Коши. Базисными коэффициентами в этом методе являются переменные состояния, т.е. фазовые переменные, непосредственно характеризующие запас энергии в элементах электрических схемы. К таким переменным относят независимые друг от друга емкостные напряжения и индуктивные токи. Исходные топологические уравнения имеют вид
;
,
(13)
где
и
-
напряжения и токи ветвей, являющихся
хордами;
и
- то же, для ветвей дерева; М – топологическая
матрица контуров и сечений, получаемая
на основе построения нормального дерева.
При применении МПС вначале строятся нормальное дерево графа схемы. Под нормальным деревом понимается фундаментальное дерево, в котором включение ветвей происходит со следующими приоритетами: ветви источников напряжения, емкостные, резистивные, индуктивные и источников тока.
Исходные компоненты уравнения предварительно не алгебраизируются и не линеаризируются. При их преобразовании стремятся получить уравнения, выражающие емкостные токи IC и индуктивное напряжение UL через переменные состояния. Далее, заменяя IC и UL производными переменных состояния, получают окончательную ММС.
Пример.
Рис. 7. Схема электрическая принципиальная.
Выберем нормальное дерево.
Рис. 8. Граф эквивалентной схемы рис. 8.
Топологические уравнения в развернутом виде представляются следующим образом:
(14)
(15)
где индекс означает принадлежность фазовой переменной к конкретной ветви.
В левых частях уравнений (15) заменяют
на
,
а в правой части вместо
подставляют
из
(14). Тогда непосредственно получают
систему ОДУ в нормальной форме Коши.
Это имеет место в случае, если нет топологических вырождений – наличия замкнутых контуров из ветвей, состоящих из емкостей и источников напряжения или сечений, включающих только индуктивные ветви и ветви источников тока.
В противном случае для расчета вектора
приходится вводить процедуру решения
системы линейных алгебраических
уравнений, либо устранять вырождения.
Табличный метод
представляет собой систему исходных, топологических и компонентных уравнений, не подвергшихся никаким преобразованиям. В вектор базисных координат включаются токи и напряжения всех ветвей схемы (за исключением величин, зависящих только от времени или постоянных). Исходными топологическими уравнениями являются те же уравнения (13), что и в методе переменных состояний.
Разделение ветвей на хорды и ветви дерева определяется выбором фундаментального дерева в графе схемы.
Фундаментальным деревом графа
называется подграф из
ветвей, в котором нет замкнутых контуров
(циклов). Здесь
- количество узлов. Для любого графа
(если сам граф не является деревом) можно
построить много фундаментальных
деревьев. Для графа на рис. 8 одно из
возможных фундаментальных деревьев –
множество ветвей дерева ВД={E1,
C1, C2,
C3, C4,
C5, C6}
и хорд ВХ={R1, R2,
R3, R4,
R5}.
Контуром i-ой хорды называют совокупность ветвей, входящих в замкнутый контур, образуемый при подключении i-ой хорды к дереву. Каждой хорде в матрице М контуров и сечений соответствует одна строка, а каждой ветви дерева – один столбец. В строке i-й хорды записываются единицы в тех столбцах, которым соответствуют ветви дерева, входящие в контур i-ой хорды. Знак единицы есть плюс, если выбранные направления токов в данной ветви и в i-ой хорде совпадают, иначе берется знак минус. В остальных клетках i-ой строки записываются нули. В качестве примера, иллюстрирующего применение табличного метода, используем эквивалентную схему, показанную на рис.7, для которой на рис. 8 приведен соответствующий граф. Граф состоит из тех же ветвей (ребер) и узлов (вершин), что и эквивалентная схема, и отличается от схемы и отсутствием условных изображений двухполюсников в ветвях.
Матрица М данного примера имеет следующий вид:
От выбора фундаментального дерева зависит насыщенность матрицы M. В алгоритмах табличного метода используются такие правила построения дерева, которые приводят к минимальной насыщенности матрицы контуров и сечений.
Компонентные уравнения в табличном методе берутся в алгебраизованном и линеаризованном виде.