Модифицированный метод узловых потенциалов
представляет собой соединение метода узловых потенциалов с методом линелизации вольтамперных связей при помощи итерационных методов решения нелинейных уравнений, например метода Ньютона. Метод применяется по причине того, что обычный метод узловых потенциалов имеет известные ограничения, накладываемые на модели компонентов. К тому же, если требуется вычислить токи, то необходимы дополнительные матричные операции.
В модифицированном методе узловых потенциалов для схем с токоуправляемыми элементами и источниками напряжения вводятся дополнительные переменные в виде токов указанных элементов (ветвей) и составляются дополнительные уравнения в виде вольтамперных связей этих ветвей. Дополнительные токи рассматриваются как независимые переменные наравне с узловыми потенциалами. Токи некоторых элементов могут рассматриваться как в качестве независимых (дополнительных) переменных (в этом случае они рассматриваются как выходные так и не выходные (зависимые переменные)).
В матричной форме уравнения принимают вид:
(8)
-
сокращенная подматрица узловых
проводимостей, не учитывающая
токоуправляемых элементов, G
- подвектор независимых источников
тока, подматрица B
содержит частные производные от
полученных по закону Кирхгофа для токов
уравнений по дополнительным переменным.
Вольтамперные связи, дифференцированные
по дополнительным переменным представлены
подматрицами С и D.
Подвектор F
содержит вклад реактивных элементов в
полный вектор независимых источников
тока. Реактивные элементы рассматриваются
только во временной области с учетом
их конечно-разностного представления.
Формирование ММ схем для случая линейных реактивных элементов.
Рассмотрим модели реактивных элементов с учетом их конечно-разностного представления при применении неявного метода Эйлера
Компонентное уравнение для емкости принимает следующий вид:
(9)
Емкость C также можно
представить в виде схемной
модели. Для этого преобразуем уравнение
(9) к виду
Здесь ток конденсатора представлен
суммой двух токов. Первая составляющая
интерпретируется резистором с
проводимостью
,
вторая - источником тока
Рис. 4. Схемная модель конденсатора
Компонентное уравнение для индуктивности имеет следующий вид:
(10)
Представим индуктивность в виде схемной модели. Для компактности уравнение (10) перепишем
.
(11)
и преобразуем его к виду
(12)
Первая составляющая уравнения (12)
представляет собой ток через резистор
с сопротивлением
,
вторая – источник тока
.
Соответствующая схемная модель
представлена на рисунке 5.
Рис. 5. Схемная модель индуктивности
В заключение отметим, что ток ветви источника напряжения всегда вводится как дополнительная переменная независимо от вида источника. Это правило сохраняется для индуктивностей. Для источников тока, резисторов и конденсаторов дополнительные переменные вводятся в случаях, когда параметры нелинейных элементов зависят от их токов и когда токи ветвей берутся как выходные.
Пример формирования ММС схемы с использованием модифицированного метода узловых потенциалов.
Сформируем ММС для схемы, представленной на рис. 6.
Рис. 6 Схема электрическая.
Составим систему уравнений с помощью МУП для 1, 2, 3 и 4 узлов:
Затем, как и в методе узловых потенциалов, заменяем токи согласно уравнениям ветвей для узлов 1 - 4:
,
,
,
.
Для определения токов
и
к этим четырем уравнениям добавим еще
два:
–
для ветви 6,
–
для ветви 7.
Теперь заменим все напряжения ветвей разностями соответствующих узловых потенциалов.
Для узлов 1 - 4:
,
,
,
.
Для ветви 6 заменяем направление разности потенциалов:
Для ветви 7:
Уравнения принимают вид матричной формы (8):
