Прямое формирование математических моделей линейных резистивных схем с помощью муп

В теории электрических цепей математическая модель часто представляется в виде

, (7)

где А – матрица инциденций,Y - диагональная матрица проводимостей ветвей. В этом случае для получения математической модели (7) необходимо формирование матрицы инциденций, что нецелесообразно, т.к. приходится хранить эту матрицу и выполнять операции умножения.

Идея алгоритма непосредственного формирования математической модели заключается в использовании принципа суперпозиции.

Топологическая модель схемы, имеющая Nузлов иLветвей, рассматривается в виде набора изLсхем, каждая из которых состоит из одной ветвиlиNузлов. Пусть указанная ветвь находится между узлами между узламиi, j.В этом случае для каждой из схем, чьей ветвью является проводимостьдля узлаiможно записать уравнение закона токов Кирхгофа:

и для узла j:

Следовательно, в матрице узловых проводимостей размерности N-1для данной ветви оказываются ненулевыми четыре элемента. Элементы с координатамиi,iиj,jравныy, элементы с координатамиi,jиj,iравны - y. Все остальные элементы - нули.

Матрица узловых проводимостей принимает вид:

Если ветвью является независимый источник тока I, включенный между узламиi, j в вектор-столбец правой части размерностиN-1имеет два ненулевых элементаI. Элемент с координатойi принимает значениеI, с координатойj принимает значение – I:

Если ветвью является источник тока, управляемый напряжением, и он включен между узлами i, j, а управляется напряжением ветви, включенной между узламиkиm, то

для узла iзапишем уравнение закона токов Кирхгофа:

и для узла j:

Следовательно, в матрице узловых проводимостей размерности N-1для данной ветви оказываются ненулевыми четыре элемента. Элементы с координатамиi, kиj, m равныy, элементы с координатамиi, mиj , k равны-y. Все остальные элементы - нули.

Матрица узловых проводимостей принимает вид:

Используя принцип суперпозиции, предварительно обнулим все элементы матрицы узловых проводимостей и вектора-столбца независимых источников тока для общей схемы. Затем будем просматривать все ветви схемы, делая ненулевыми соответствующие элементы матрицы и вектора по изложенным выше правилам.

2. Модифицированный метод узловых потенциалов

представляет собой соединение метода узловых потенциалов с методом линелизации вольтамперных связей при помощи итерационных методов решения нелинейных уравнений, например метода Ньютона. Метод применяется по причине того, что обычный метод узловых потенциалов имеет известные ограничения, накладываемые на модели компонентов. К тому же, если требуется вычислить токи, то необходимы дополнительные матричные операции.

В модифицированном методе узловых потенциалов для схем с токоуправляемыми элементами и источниками напряжения вводятся дополнительные переменные в виде токов указанных элементов (ветвей) и составляются дополнительные уравнения в виде вольтамперных связей этих ветвей. Дополнительные токи рассматриваются как независимые переменные наравне с узловыми потенциалами. Токи некоторых элементов могут рассматриваться как в качестве независимых (дополнительных) переменных (в этом случае они рассматриваются как выходные так и не выходные (зависимые переменные)).

В матричной форме уравнения принимают вид:

(8)

- сокращенная подматрица узловых проводимостей, не учитывающая токоуправляемых элементов,G - подвектор независимых источников тока, подматрицаB содержит частные производные от полученных по закону Кирхгофа для токов уравнений по дополнительным переменным. Вольтамперные связи, дифференцированные по дополнительным переменным представлены подматрицамиСиD.ПодвекторFсодержит вклад реактивных элементов в полный вектор независимых источников тока. Реактивные элементы рассматриваются только во временной области с учетом их конечно-разностного представления.

Формирование ММ схем для случая линейных реактивных элементов.

Рассмотрим модели реактивных элементов с учетом их конечно-разностного представления при применении неявного метода Эйлера

Компонентное уравнение для емкости принимает следующий вид:

(9)

Емкость Cтакже можно представить в видесхемной модели. Для этого преобразуем уравнение (9) к видуЗдесь ток конденсатора представлен суммой двух токов. Первая составляющая интерпретируется резистором с проводимостью, вторая - источником тока

Рис. 4. Схемная модель конденсатора

Компонентное уравнение для индуктивности имеет следующий вид:

(10)

Представим индуктивность в виде схемной модели. Для компактности уравнение (10) перепишем

. (11)

и преобразуем его к виду

(12)

Первая составляющая уравнения (12) представляет собой ток через резистор с сопротивлением , вторая – источник тока. Соответствующая схемная модель представлена на рисунке 5.

Рис. 5. Схемная модель индуктивности

В заключение отметим, что ток ветви источника напряжения всегда вводится как дополнительная переменная независимо от вида источника. Это правило сохраняется для индуктивностей. Для источников тока, резисторов и конденсаторов дополнительные переменные вводятся в случаях, когда параметры нелинейных элементов зависят от их токов и когда токи ветвей берутся как выходные.

Пример формирования ММС схемы с использованием модифицированного метода узловых потенциалов.

Сформируем ММС для схемы, представленной на рис. 6.

Рис. 6 Схема электрическая.

Составим систему уравнений с помощью МУП для 1, 2, 3 и 4 узлов:

Затем, как и в методе узловых потенциалов, заменяем токи согласно уравнениям ветвей для узлов 1 - 4:

,

,

,

.

Для определения токов ик этим четырем уравнениям добавим еще два:

– для ветви 6,

– для ветви 7.

Теперь заменим все напряжения ветвей разностями соответствующих узловых потенциалов.

Для узлов 1 - 4:

,

,

,

.

Для ветви 6 заменяем направление разности потенциалов:

Для ветви 7:

Уравнения принимают вид матричной формы (8):

3. Метод переменных состояний

предназначен для получения ММС как системы ОДУ в форме Коши. Базисными коэффициентами в этом методе являются переменные состояния, т.е. фазовые переменные, непосредственно характеризующие запас энергии в элементах электрических схемы. К таким переменным относят независимые друг от друга емкостные напряжения и индуктивные токи. Исходные топологические уравнения имеют вид

;, (13)

где и- напряжения и токи ветвей, являющихся хордами;и- то же, для ветвей дерева; М – топологическая матрица контуров и сечений, получаемая на основе построения нормального дерева.

При применении МПС вначале строятся нормальное деревографа схемы. Под нормальным деревом понимается фундаментальное дерево, в котором включение ветвей происходит со следующими приоритетами: ветви источников напряжения, емкостные, резистивные, индуктивные и источников тока.

Исходные компоненты уравнения предварительно не алгебраизируются и не линеаризируются. При их преобразовании стремятся получить уравнения, выражающие емкостные токи I_Cи индуктивное напряжениеU_Lчерез переменные состояния. Далее, заменяяI_CиU_Lпроизводными переменных состояния, получают окончательную ММС.

Пример.

Рис. 7. Схема электрическая принципиальная.

Выберем нормальное дерево.

Рис. 8. Граф эквивалентной схемы рис. 8.

Топологические уравнения в развернутом виде представляются следующим образом:

(14)

(15)

где индекс означает принадлежность фазовой переменной к конкретной ветви.

В левых частях уравнений (15) заменяют на, а в правой части вместоподставляютиз (14). Тогда непосредственно получают систему ОДУ в нормальной форме Коши.

Это имеет место в случае, если нет топологических вырождений – наличия замкнутых контуров из ветвей, состоящих из емкостей и источников напряжения или сечений, включающих только индуктивные ветви и ветви источников тока.

В противном случае для расчета вектора приходится вводить процедуру решения системы линейных алгебраических уравнений, либо устранять вырождения.

4. Табличный метод

представляет собой систему исходных, топологических и компонентных уравнений, не подвергшихся никаким преобразованиям. В вектор базисных координат включаются токи и напряжения всех ветвей схемы (за исключением величин, зависящих только от времени или постоянных). Исходными топологическими уравнениями являются те же уравнения (13), что и в методе переменных состояний.

Разделение ветвей на хорды и ветви дерева определяется выбором фундаментального дерева в графе схемы.

Фундаментальным деревом графа называется подграф изветвей, в котором нет замкнутых контуров (циклов). Здесь- количество узлов. Для любого графа (если сам граф не является деревом) можно построить много фундаментальных деревьев. Для графа на рис. 8 одно из возможных фундаментальных деревьев – множество ветвей дереваВД={E1, C1, C2, C3, C4, C5, C6} и хордВХ={R1, R2, R3, R4, R5}.

Контуром i-ой хорды называют совокупность ветвей, входящих в замкнутый контур, образуемый при подключенииi-ой хорды к дереву. Каждой хорде в матрицеМ контуров и сечений соответствует одна строка, а каждой ветви дерева – один столбец. В строкеi-й хорды записываются единицы в тех столбцах, которым соответствуют ветви дерева, входящие в контурi-ой хорды. Знак единицы есть плюс, если выбранные направления токов в данной ветви и вi-ой хорде совпадают, иначе берется знак минус. В остальных клеткахi-ой строки записываются нули. В качестве примера, иллюстрирующего применение табличного метода, используем эквивалентную схему, показанную на рис.7, для которой на рис. 8 приведен соответствующий граф. Граф состоит из тех же ветвей (ребер) и узлов (вершин), что и эквивалентная схема, и отличается от схемы и отсутствием условных изображений двухполюсников в ветвях.

Матрица М данного примера имеет следующий вид:

От выбора фундаментального дерева зависит насыщенность матрицы M. В алгоритмах табличного метода используются такие правила построения дерева, которые приводят к минимальной насыщенности матрицы контуров и сечений.

Компонентные уравнения в табличном методе берутся в алгебраизованном и линеаризованном виде.