1. Метод узловых потенциалов (муп)

получил широкое распространение в современных программах анализа электронных схем. В вектор базисных координат включаются потенциалы всех узлов схемы, за исключением одного узла, принимаемого за опорный. Исходные топологические уравнения – это уравнения закона токов Кирхгофа, записанные для узлов схемы.

, (3)

где – вектор токов ветвей, – матрица инциденций (матрица «узел-ветвь»). Строки матрицы инциденций соответствуют узлам схемы, а столбцы ветвям.

В столбце i-й ветви записываются единицы на пересечении со строками инцидентных узлов, причем +1 соответствует узлу, а -1 – узлу, из которого этот ток вытекает. Здесь ветвь – ранее перечисленные двухполюсники.Узел – точка, в которой сходится не менее двух ветвей.

Метод предполагает, что независимыми переменными являются потенциалы узлов цепи относительно некоторого базисного опорного узла. МУП допускает следующие элементы:

R, C, L, I(t), .

Исходя из определения метода, можно сделать следующие заключения:

1. ветвь должна иметь конечное сопротивление;

2. источник напряжения не может быть ветвью;

3. ветвью не может быть источник тока, управляемый током (так как ).

Метод приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), неразрешенных относительно производных, т.е. к неявной форме ОДУ.

Пример формирования ММС МУП.

Составим математическую модель для принципиальной электрической схемы, представленной на рис. 3.

Рис. 3 Схема принципиальная электрическая

Составим систему уравнений по МУП для узлов 1 и 2:

(4)

Компонентные уравнения имеют вид:

(4), (5), (6), (5)

Подставив компонентные уравнения (4,5,6,7) в систему (3) получим:

(6)

Прямое формирование математических моделей линейных резистивных схем с помощью муп

В теории электрических цепей математическая модель часто представляется в виде

, (7)

где А – матрица инциденций, Y - диагональная матрица проводимостей ветвей. В этом случае для получения математической модели (7) необходимо формирование матрицы инциденций, что нецелесообразно, т.к. приходится хранить эту матрицу и выполнять операции умножения.

Идея алгоритма непосредственного формирования математической модели заключается в использовании принципа суперпозиции.

Топологическая модель схемы, имеющая N узлов и L ветвей, рассматривается в виде набора из L схем, каждая из которых состоит из одной ветви l и N узлов. Пусть указанная ветвь находится между узлами между узлами i, j. В этом случае для каждой из схем, чьей ветвью является проводимость для узла i можно записать уравнение закона токов Кирхгофа:

и для узла j:

Следовательно, в матрице узловых проводимостей размерности N-1 для данной ветви оказываются ненулевыми четыре элемента. Элементы с координатами i,i и j,j равны y, элементы с координатами i,j и j,i равны - y. Все остальные элементы - нули.

Матрица узловых проводимостей принимает вид:

Если ветвью является независимый источник тока I, включенный между узлами i, j в вектор-столбец правой части размерности N-1 имеет два ненулевых элемента I. Элемент с координатой i принимает значение I, с координатой j принимает значение – I:

Если ветвью является источник тока, управляемый напряжением, и он включен между узлами i, j, а управляется напряжением ветви, включенной между узлами k и m, то

для узла i запишем уравнение закона токов Кирхгофа:

и для узла j:

Следовательно, в матрице узловых проводимостей размерности N-1 для данной ветви оказываются ненулевыми четыре элемента. Элементы с координатами i, k и j, m равны y, элементы с координатами i, m и j , k равны -y. Все остальные элементы - нули.

Матрица узловых проводимостей принимает вид:

Используя принцип суперпозиции, предварительно обнулим все элементы матрицы узловых проводимостей и вектора-столбца независимых источников тока для общей схемы. Затем будем просматривать все ветви схемы, делая ненулевыми соответствующие элементы матрицы и вектора по изложенным выше правилам.