3. Устойчивость двухшарнирной круговой арки

Рассмотрим круговую арку загруженную равномерно распределенной радиальной нагрузкой q.

q

A B



R

O

Дифференциальное уравнение кривого бруса по аналогии с кольцом

, где

Решение его:

,

где - угол изменяющийся от 0 до.

Граничные условия задачи:

1) при = 0W= 0;

0 = С₂

2) при =W= 0;

0 = C₁sinK;C₁0

Следовательно sinK=0

;;;

;

19.7 Устойчивость составных стержней (сквозных колонн)

Составные стержни, состоящие из отдельных ветвей, связанных планками или решеткой, обладают меньшей жесткостью, чем сплошные. Решетка воспринимает действие поперечных сил, влияние которых необходимо учитывать наряду с изгибающими моментами.

x

P P

Q dx

l 1 1 dx dx 

y

Q

b

1- 1

М = Ру, потенциальная энергия изгиба:

(16)

Работа поперечных сил:

где dS=dx

Относительный сдвиг при действииQ=1 обозначим через₁, тогда=Q·₁

Потенциальная энергия, равная работе поперечных сил:

если учесть, что то

(17)

Работа внешних сил:

, (18)

где

из выражения:

U_м + U_Q=A,

получим:

или

Принимаем, что в момент потери устойчивости стержень искривляется по синусоиде которая удовлетворяет граничным условиям задачи:

1) при х = 0; у = 0

2) при у = 0.

Тогда:

в результате получаем:

отсюда:

умножим числитель и знаменатель на EJ

Обозначим

(19)

(20)

Чтобы определить значение коэффициента необходимо знать₁, которое зависит от типа соединения отдельных ветвей стойки.

Рассмотрим стойку с ветвями соединенными решеткой

Q=1пусть длина раскосаd

kk₁

ad₁d

n

mQ=1 поперечную силу воспринимает на себя

раскос, удлинение которого:

b

, гдеN_p,F_p- соответственно усилие и площадь сечения раскоса

длина раскоса

,

тогда

,

кроме того d=KK₁·cos

или:

(21)

Рассмотрим стойку с ветвями соединенными планками

в точках nиn₁изгибающие

моменты = 0, действуют

только поперечные силы

b/2

b n n₁

b/2

Q=1

½ 1/2

n n₁

₁ b/2

b/2

½ 1/2

Q=1

(22)

y_max=nn₁

1/2 M_p M_p

b/2

b/4 b/2

или

где J_в- момент инерции одной ветви колонны.

19.8 Расчет на устойчивость колонны ступенчатого сечения

x

P P P

l₁ I₁



M= -P(-y)

ly

l₂I₂x

y

Запишем дифференциальное уравнение оси стойки для каждого участка

тогда

или

аналогично

обозначим

(23)

(24)

Общее решение дифференциального уравнения (23)

(24)

частное решение Ф₁= А, подставим его в дифференциальное уравнение (1)

А =

(25)

аналогично

(26)

Определим коэффициенты уравнений (25) и (26) из граничных условий задачи:

1) При Х = 0 у₂= 0

d₂= -

2) При Х=lу₁= 0

3) При Х = l₂у₁= у₂

(27)

4) При Х = l₂

(28)

Решая совместно уравнения получим

(29)