19.6 Понятие о расчете на устойчивость круговых арок постоянного сечения

1. Вывод дифференциального уравнения кругового бруса

dSdS- длина элементаmnдо деформации,

nR - радиус кривизны

mW+dWm₁n₂положение элементаmnпосле

Wдеформации.

V+dV

V

Rd

O

Обозначим проекции перемещения точек mиnчерез:V- проекцию перемещения на касательную иW- проекцию перемещения на радиус.

Определим относительную деформацию элемента dS. Для этого воспользуемся принципом наложения и будем определять отдельно деформацию элемента от перемещенийWиV.

1) W= 0

V+dV

V

mm₁nn₁

d

O

Абсолютная деформация элемента dS равна dV, а относительная деформация

(8)

2. V= 0. Бесконечно малой величинойdWпренебрегаем

dSдо деформации

ndS=Rd

m Wпосле деформации

n₁

m₁

R d

O

Абсолютная деформация элемента dS

Относительная деформация:

, (9)

т.к. dS = Rd.

Полная относительная деформация элемента:

(10)

Кривизна элемента до деформации

dS=Rd

Определим изменение элемента за счет его деформации. Углы поворота касательных, проведенных к точке m:

1) W= 0



m m₁n n₁

V V+dV

R



O

2) V= 0

в этом случае пренебречь величиной dW нельзя

n

m

WW+dW

m₁n₁Заштрихованный треугольник ввиду

малых величин можно считать

прямолинейным, тогда:

R

O

Суммарный угол поворота касательной

(11)

Изменения кривизны деформированного элемента:

Продифференцируем выражение (11):

(12)

Пренебрегая удлинением элемента dS, т.е. , из уравнения (10) имеем:

подставляя это значение в (5) и .

(13)

Из сопротивления материалов известно дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса:

(14)

подставив (7) в (6) получим дифференциальное уравнение кривого бруса:

или

(15)

2. Устойчивость кругового кольца при радиальной нагрузке

yq - интенсивность равномерно

Kраспределенной радиальной

нагрузки.

WK₁

q

x

R

При q < q_кркольцо сохраняет первоначальную форму равновесия и в нем возникают только продольные усилия сжатия.

При qq_кркольцо теряет устойчивую форму равновесия, приобретая овальную форму и в нем, наряду с продольными усилиями появляются изгибающие моменты.

Рассмотрим элемент dSдо потери устойчивости:

y

qdS

NN

ввиду малости угла

d

О

тогда

, dS = Rd

;

(а)

После потери устойчивости точка К переместится в точку К₁, прогиб стенки кольца составляетW. В деформированном состоянии продольная сила вызывает в кольце изгибающий момент:

Подставим это значение момента в дифференциальное уравнение бруса (15):

,

или

(б)

Обозначим

(с)

(d)

Решение этого однородного дифференциального уравнения запишется:

(е)

Значение коэффициентов С₁и С₂найдем из граничных условий:

учитывая, что на осях симметрии W’=0

1) при = 0

0 = С₁К; С₁= 0

2) при

С₂= 0; К = 0

Следовательно , а это возможно при :

1) К = 0 - противоречит условию задачи (см. выше)

2) К=2, sin= 0.

Из выражения (с) получаем

,

отсюда (f)