1.2 Типы опорных связей

Системы могут быть свободными, неприкреплёнными к земле, и прикреплёнными к ней.

Прикрепление систем к земле производится при помощи связей, называемых опорными:

• шарнирно-подвижная опора, направление подвижности перпендикулярно стержню, реакция действует вдоль стержня (рис. 1.5, а);

• шарнирно-неподвижная опора в виде двух стержней, образующих шарнир, возникают две реакции заданного направления (рис. 1.5, б);

• заделка или припайка в виде трёх стержней (рис. 1.5,в) в месте прикрепления действуют две реакции заданного направления и реактивный момент относительно точки их пересечения.

Рис. 1.5. Типы опорных связей

Связи могут быть необходимыми, устранение которых превращает неизменяемые системы в изменяемые, и лишними — такие, удаление которых не ведёт к изменению геометрической неизменяемости системы.

Лишние связи определяют степень статической неопределимости системы или сооружения. В статически неопределимых системах нельзя рассчитать усилия с помощью одних уравнений статики.

1.3. Способы образования геометрически неизменяемых систем

1. Три диска соединяются тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой (рис. 1.6,а).

2. К геометрически неизменяемой системе новый узел присоединяется двумя стержнями так, чтобы три шарнира не лежали на одной прямой (рис. 1.6,б) – видоизменённый первый способ.

3. Два диска соединяются шарниром и стержнем, не проходящим через этот шарнир (рис. 1.6,в).

4. Два диска соединяются в один тремя стержнями, оси которых не пересекаются в одной точке (рис. 1.6,г).

5. К геометрически изменяемой системе с одной степенью свободы новая точка присоединяется тремя стержнями так, чтобы эти стержни присоединялись не к одному диску (рис. 1.6,д).

Рис. 1.6. Способы образования геометрически неизменяемых систем

1.4. Мгновенно-изменяемые системы

Мгновенно-изменяемые или вырожденные системы – это системы, которые изменяются лишь в первый момент времени. Вырожденные системы недопустимо применять в качестве сооружений, поскольку при действии нагрузки они получают большие перемещения и не находятся в состоянии равновесия, то есть для них не удовлетворяются уравнения статики.

Случаи образования мгновенно-изменяемых систем:

• три диска соединяются тремя шарнирами, лежащими на одной прямой (рис. 1.7,а);

• два диска соединены тремя параллельными стержнями (рис. 1.7,б);

• два диска соединяются тремя стержнями, пересекающимися в одной точке (рис. 1.7,в).

Мгновенную изменяемость системы можно показать кинематическим и статистическими методами. Статистический метод заключается в определении усилий методами статики, например, методом нулевой нагрузки.

Суть метода нулевой нагрузки: если система неизменяема и статически определима, то усилия в ней определены однозначно и при нулевой нагрузке – нулевые.

Если система вырождена, то при действии произвольной конечной нагрузки, усилия, определяемые из уравнений статики, принимают бесконечно большие значения и становятся неопределёнными.

Рис. 1.7. Случаи образования вырожденных систем

Кинематический метод заключается в анализе геометрической структуры сооружения.

Перед расчётом любого сооружения необходимо:

• подсчитать степень свободы каждого сооружения;

• убедиться в том, что оно геометрически неизменяемо.

Степень свободы любой системы определяют по формуле П. Л. Чебышева.

Для дисковых систем – балок и рам:

П= 3Д - 2Ш - С₀.

Для систем, составленных из стержней, соединённых шарнирами, – ферм:

П= 2У - С - С₀,

где Д – простой диск; 3Д – диск имеет три степени свободы; Ш – простой шарнир; 2Ш – шарнир уничтожает две степени свободы; С₀ – число опорных стержней, одна опорная связь соответствует уничтожению одной степени свободы; У – число шарнирных узлов, соединённых между собой простыми шарнирами; 2У – каждый узел имеет две степени свободы как геометрическая точка; С – число стержней без опорных, стержень лишает диск, узел одной степени свободы, то есть препятствует перемещению в направлении стержня.

При применении формулы Чебышева имеют место следующие случаи:

• П > 0 – система изменяема, обладает подвижностью;

• П = 0 – система обладает достаточным количеством связей, чтобы быть неподвижной и геометрически неизменяемой;

• П < 0 – система обладает лишними связями.

Условие П = 0 необходимое, но недостаточное. Недостаточно иметь определённое количество связей для правильного использования системы.

Нужно уметь расположить эти связи так, чтобы исключить любые конечные относительные перемещения дисков, узлов. Для этого и проводится дополнительно анализ геометрической структуры сооружения.