Выбор при нечеткой исходной информации

При принятии решений нередко приходится иметь дело с информацией, которая по своей сути носит субъективный и нечеткий характер. Такая информация содержит значительное число неопределенностей – много, мало, высокий, низкий, очень эффективный и т.п. Подобного рода термины не используются в классической математике. В основе математической логики лежит двузначная логика, согласно которой утверждения могут быть или истинными, или ложными. Язык традиционной математики не приспособлен для описания нечетких характеристик рассматриваемого объекта.

В классической теории множеств последние понимаются как совокупности элементов, обладающих некоторым общим свойством, например, множества чисел, не меньше заданного числа, множество векторов, длина которых не превышает единицы и т.д. При этом предполагается, что элемент либо принадлежит данному множеству, либо нет. Таким образом, при описании множества следует использовать четкий критерий, позволяющий судить о принадлежности элемента данному множеству.

Вместе с тем специалистам часто приходится принимать решение в ситуации, когда исходная информация является неопределенной. Такого рода ситуации возникают не только вследствие недостаточной изученности рассматриваемых объектов. К другим причинам можно отнести участие в формировании решения группы лиц. В случае, когда в выработке решения принимают участие несколько экспертов, оценки ситуации которых могут расходиться, не удается достаточно точно отразить нечеткость представлений экспертов исходной информации.

При формализации знаний чаще всего пользуются детерминированными методами и тем самым вносят определенность в ситуации, хотя ее в действительности нет. Неточность задания тех или иных параметров при расчетах практически не принимается во внимание или, с учетом некоторых допущений, некоторые параметры заменяются их средними или средневзвешенными значениями. Для систем, сложность которых превосходит некоторый пороговый элемент, такой способ представления исходной информации теряет смысл. Именно поэтому точный количественный анализ реальных экономических, социальных, социотехнических систем, в функционировании которых принимает участие человек, малопригоден.

Для обработки не точных исходных данных можно воспользоваться аппаратом теории вероятностей и математической статистики. Представление характеристик изучаемого объекта в виде случайных величин позволяет решать многие задачи. Однако в данном случае пользуются традиционным понятием множества, а не понятием нечеткого множества.

Количественные методы принятия решений позволяют выбрать наилучшую из возможных альтернатив лишь в условиях одного конкретного вида неопределенности или в условиях полной неопределенности. К тому же большая часть разработанных методов для облегчения поиска искомого решения базируется на крайне упрощенных моделях действительности. При этом на решение накладываются слишком жесткие ограничения. Все это приводит к тому, что получаемые решения становятся малоценными, а подчас и просто неудовлетворительными.

Применение для обработки нечеткой информации аппарата теории вероятностей предполагает наличие случайности в природе событий, хотя основной причиной неопределенности является расплывчатость исходных данных.

Для реальных сложных систем характерно наличие одновременно разнородной информации:

• точечных замеров и значений параметров;

• допустимых интервалов их измерений;

• статистических законов распределения их отдельных параметров;

• лингвистических критериев и ограничений, полученных от экспертов и т.д.

Чтобы воспользоваться имеющейся информацией, которой присуща различного вида неопределенность, ее следует преобразовать. С той целью такую информацию представляют в виде нечетких множеств и функций принадлежности к образованному множеству.

Подход на основе теории нечетких множеств является одним из возможных способов описания объектов не числовой природы, т.е. объектов, к которым не применима числовая мера. Их не удается представить в виде векторов, с заданными компонентами. Они образуют особого вида пространства. В качестве элементов таких пространств могут выступать:

• значения качественных признаков, т.е. результаты кодировки объектов с помощью заданного перечня категорий (градаций);

• упорядочения (ранжирования) образцов продукции;

• обобщение;

• отношения между объектами, описывающие сходство объектов, например, сходство тематики научных работ, оцениваемое экспертами с целью рационального формирования экспертных советов внутри определенной области наук;

• результаты парных сравнений или контроля качества изделия по альтернативному признаку (годен –брак);

• множества (классические или нечеткие), например, зоны заражения, перечисления возможных причин аварии, составленные экспертами независимо друг от друга;

• тексты;

• ответы на вопросы специалистов.

Метод представления знаний в виде нечетких множеств и функций принадлежности элементов этим множествам дает приближенные, вместе с тем достаточно эффективные способы описания поведения настолько сложных и плохо структурированных, что они не поддаются точному математическому анализу. До работ Л. Заде подобного рода информация очень часто не использовалась. Теоретические же основания данного метода вполне строги в математическом смысле и сами по себе не являются источником неопределенности. В каждом конкретном случае степень точности решения может быть хорошо согласована с требованиями задачи и точностью имеющихся данных.

В отличие от случайности, связанной с неопределенностью знаний о принадлежности некоторого объекта к конкретному множеству, понятие нечеткость относится к классам, в которых могут быть различные градации степени принадлежности, промежуточные между вполне определенной принадлежностью и не принадлежностью объекта к данному классу.

Основными понятиями теории нечетких множеств являются понятие нечеткого множества, функции принадлежности и логической переменной. Под нечетким множеством понимают такое множество, элементы которого характеризуются различной степенью принадлежности к нему. Степень принадлежности конкретного элемента данному множеству задается функцией принадлежности. Последняя может принимать значение от нуля до единицы.

Пусть Х – некоторое традиционное множество элементов х i (i =1, 2,…, n). Нечетким множеством С, соответствующим множеству Х, называют совокупность пар вида (x, μ с (x)), где х Є Х, а μ с (x) – функция принадлежности.

Функция принадлежности называется функция, используемая для вычисления степени принадлежности произвольного элемента универсального множества к заданному множеству С. Значение μ с (x) этой функции для конкретного х называется степнью принадлежностью этого элемента множеству С.

В теории нечетких множеств вводится понятие лингвистической переменной.

Лингвистическая переменная (ЛП) – это переменная, область значений которой определена некоторым набором характеристик, выраженных на естественном языке. Например, ЛП Здоровье может быть определена на множестве, содержащем элементы: плохое, удовлетворительное, хорошее.

Значения лингвистической переменной определяют некоторое нечеткое множество(НМ).

Над нечеткими множествами, как и над обычными, можно выполнять определенные операции. В частности, такими операциями могут быть: дополнение, объединение, пересечение.

Операция дополнения определяется следующим образом:

F = ∑ (1- μ F (u i))/ u i, μ F (u) = 1- μ F (u ).

Пусть нечеткое множество F1 cоответствует ЛП молодой. Тогда дополнением к нему является множество, соответствующее ЛП немолодой. Математическое представление такой ЛП имеет вид:

40/0.3 + 50/0.4 + 60/1 + 70/ 1 + 80/1 + 90/1.

Операция объединения:

F U G = ∑μF(ui) min μG(ui ))/u i, μF∩ G(u) = μF(u) max μG(u).

Лингвистическая переменная в нашем случае принимает следующий вид

ЛП= 0/1 +10/1 + 20/0.8 + 30/0.5 + 40/1 +50/0.5.

Операция пересечения:

F ∩ G = ∑μF(ui) max μG(ui ))/u i, μFU G(u) = μF(u) min μG(u).