МодСистЛЕКЦ / Основные понятия теории подобия

Основные положения теории подобия

При создании модели изучаемого объекта исходят из того, что она позволит гарантировать достоверность получаемых результатов. Ясно, что для этого модель должна отражать с требуемой степенью точности объект исследования. Следовательно, аналитик должен обосновать адекватность модели рассматриваемого предмета.

Основой указанного обоснования служит теория подобия. По сути дела методологией доказательства применимости построенной модели для исследования объектов являются фундаментальные положения теории подобия.

Под подобием понимают взаимно однозначное соответствие рассматриваемых объектов по каким-либо выделенным их свойствам. Например, известное в геометрии понятие подобия треугольников.

Различают несколько видов подобия. Первый вид подобия – прямой. К такому виду относятся масштабирование. Второй вид – косвенное, при котором наблюдается сходство по каким-то признакам объектов различной физической природы. Так, взаимодействие электрических зарядов и небесных тел происходит в принципе по аналогичным законам.

К третьему виду относят так называемое условное подобие, т.е. подобие, устанавливаемое на каких-либо принятых соглашениях. Например, различные карты одной и той же местности могут быть приняты в качестве ее модели.

В теории подобия подобными называют явления/объекты, которые можно описать инвариантными уравнениями относительно преобразования их переменных.

Пусть объекты S ₁ и S ₂ представляются в виде уравнений

X(x₁, x₂, . . . x_n )= 0 и Y( y₁ , y₂ , . . .y_n ) =0.

Пусть далее переменные x_i и y_i связаны соотношениями y_i = α_i x_i .

Такие объекты называют подобными. Как видно, подобность является частным случаем инвариантности преобразования множеств.

Следующее важное понятие теории подобия – критерий подобия.

Критерий, или инвариант подобия П, определяют как безразмерный функционал от параметров (характеристик) объекта вида П = p₁ z 1 p₂ z 2 . . . p_k z k. , где p_i – параметры объекта.

Базисом теории подобия служат следующие тноремы.

Прямая теорема (Ньтона-Бертрана) гласит: Подобные явления имеют одинаковые критерии подобия.

π-теорема утверждает, что для явления, которое можно описать с помощью n физических величин, среди которых р величин являются основными в абсолютной системе единиц, а остальные q = n – p – производные от первых, можно образовать q независимых критериев подобия.

Данная теорема позволяет не только установить количество критериев подобия, но и получить их путем анализа размерностей задачи. Сам анализ размерностей является одним из способов математического описания системы.

Сущность метода анализа размерностей состоит в том, что для получения необходимых математических соотношений для описания данной системы, используются общие физические законы, которые нашли отражение в системе единиц, установленной для изучения явлений. Результатом анализа должны быть выбранные переменные, определяющие поведение системы. От полноты учета определяющих факторов зависит качество полученной модели. Принятая гипотеза о наборе искомых переменных, может быть впоследствии уточнена при исследовании явления с помощью созданной модели.

Теорема Кирпичева устанавливает необходимые и достаточные условия подобия систем: для подобия явлений необходимо и достаточно совпадение уравнений, описывающих явления, условий однозначности и численное равенство критериев, полученных из условий однозначности.

Под условиями однозначности понимают дополнительные уравнения, позволяющие получить конкретное решение. Обычно их называют еще ограничениями, накладываемыми на решение.

Помимо указанных теорем, целесообразно использовать следующие принципы моделирования (принципы Веникова).

1. Сложные системы, составленные из нескольких систем, соответственно подобных в отдельности, подобны в целом, если подобны граничные условия отдельных систем.

2. Условия подобия, справедливые для линейных систем с постоянными параметрами, можно распространить и на системы с переменными параметрами пр дополнительном условии – подобии функции времени, описывающей законы изменение параметров.

3. Условия подобия, справедливые для линейных систем, можно распространить на нелинейные системы если подобны функции переменных величин, описывающих законы изменения нелинейных параметров.

4. Условия подобия, справедливые для однородных систем, могут быть распространены на неоднородные системы при условии соответствующих неоднородностей.

В силуπ – теоремы, независимых критериев подобия для любых систем меньше размерности множества определяющих ее параметров. Следовательно, анализ соответствия модели ее оригиналу лучше проводить на множестве критериев подобия, а не на множестве характеризующих параметров. Если будет установлено подобие оригинала и его модели, то и результаты моделирования можно будет перенести на объект-оригинал.

Определение критериев подобия.

Одним из способов нахождения критериев подобия является анализ размерностей параметров системы.

Рассмотрим указанный метод на примере электрической R, L – цепи.

Установление критериев подобия начинают с выбора параметров, характеризующих систему. Принятый набор таких параметров может быть уточнен впоследствии.

В нашем случае в качестве характеристик модели можно взять время ( Т ), ток ( I ), напряжение ( U ), сопротивление ( R ) и индуктивность ( L ).

Затем составляют матрицы размерностей для каждого параметра. Для этого следует выбрать основные единицы измерения. Если таковыми принять единицы измерения времени, тока и энергии, то размерности определяющих систему параметров выразятся следующим образом (размерности величин принято указывать в виде символов, заключенных в квадратные скобки):

[T] = [T], [I] = [I], [U] = [W/IT], [R] = [W/I2 T], [L] = [W/I2].

При анализе размерностей следует воспользоваться зависимостями, описывающими фундаментальные физические законы. В рассматриваемом случае такими зависимостями являются законы электротехники:

W = U/T, W = LI 2 /2, U = IR.

Далее находим независимые между собой параметры системы: время, ток и напряжение. Согласно π –теореме число независимых критериев подобия в наше случае равно двум. Для их отыскания поступим следующим образом.

Возведем независимые параметры в некоторые (пока неизвестные) степени α _i и β _i. Затем составим критерии подобия:

К₁ = I α1 U α2 T α3 R,

K ₂ = I β1 U β2 T β3 L.

Чтобы найти величины α_i и β_i, необходимо раскрыть размерности величин, входящих в критерии К₁ и К₂, что мы и сделаем. В результате получим следующие две системы линейных уравнений, связывающие искомые значения показателей степеней:

α_{2 –} α₃ - 2 = 0

α₁ - α₂ - 1 = 0

α₃ + 1 = 0

β₂ - β₃ - 2 = 0

β₁ - β ₃ = 0

β ₃ + 1 = 0.

При составлении уравнений учитывается, что сумма показателей для каждого базисного параметра равна нулю (поскольку критерии подобия по определению безразмерные величины).

Найдя решения данных систем уравнений, получим и искомые критерии:

К₁ = IR/U, K₂ = IL/UT.

Таким образом, описав модель с помощью критериев подобия, можно судить о ее свойствах, не решая интегрально- дифференциального уравнения. Это особенно ценно, когда отыскание его решения является сложной задачей.

Заметим, что R,L цепь описывается таким дифференциальным уравнением:

E = Ri + L di/dt

Общее решение данного уравнения имеет следующий вид:

I = E/R + Ce – Rt/L .