Алгебра предикатов

Несмотря на большую важность алгебры высказываний, она оказывается довольно бедной для описания предметной области и решения практических задач. В науке и повседневной жизни приходится решать очень сложные задачи, которые не удается решить методами одной алгебры высказываний. Чтобы успешнее решать такие задачи, применяют аппарат алгебры предикатов, последняя является разделом математической логики. Он надстраивается над алгеброй высказываний.

Существенным недостатком алгебры высказываний является то что она не позволяет учитывать внутреннюю структуру простых высказываний при выводе заключения.

Пусть имеется какое-либо сложное высказывание И. Образующие его элементы обладают свойствами и находятся в разнообразных отношениях друг с другом. Чтобы конструировать высказывания о свойствах вещей и их отношениях, необходиморасширить алфавит логики высказываний новыми знаками. Прежде чем ввести новые символывведем несколько новых понятий.

Теория предикатов исходит из следующих положений. Простые высказывания выражают, что некоторые объекты обладают своими свойствами или находятся между собой в некоторых отношениях.

При этом понятия свойство и отношение рассматриваются как частные случае общего понятия предиката.

Предикатом в латинской грамматике называют сказуемое предложения, т.е. некоторого высказывания. Известно, что подлежащее является названием некоторого объекта, а, сказуемое выражает его свойство. В алгебре предикатов понятие свойство рассматривается как некоторая функция. Пусть, например, имеется такое высказывание: “Самолет есть летательный аппарат”. Подставляя вместо самолета другие объекты, получим также осмысленные предложения. В одних случаях они будут истинными, в других – ложными..

В общем случае данное предложение принимает вид: “Х есть летательный аппарат”.

Таким образом, под предикатом понимают функцию, которая определена на некотором заданном множестве переменных и может принимать значения истинности или ложности. Вот прримеры. Платон – ученик Сократа. Аристтель – ученик Платона.

Ясно, что в действительности всякий предикат-свойство вполне определяется подмножеством тех объектов, на которых данная функция принимает значение истинности. Примерами предикатами-свойствами могут служить свойства натуральных чисел быть простыми числами, быть четным числом, быть квадратами и т.д.

Приведенный нами пример относится к частному виду предиката, а именно к предикату-свойству. В математической логике используется более общее понятие предиката-отношения. В зависимости от того, между каким числом объектов устанавливается отношение, различают двуместные (бинарные), трехместные (тернарные) и т.д отношения. Самыми распространенными являются бинарные отношения Они описываются различнысми словами: равны, больше, параллелны и т.д.

По аналогии с предикатом-свойством двуместным предикатом считается опять функция, на этот раз от двух аргументов, определенных на некотором универсальном множестве, принимающем значение и и л: те пары элементов, для котрых функция принимает значение и, находятся в рассматриваемом отношении, остальные пары в этом отношении не находятся.

Алгебра предикатов устанавливает набор операций над предикатами.

Пусть Р(Х) и Q(X) два одноместных предиката, определеннных на некотором множестве М. К допустимым операциям над ними относятся уже известные нам операции отрицания, конъюкции и дизъюнкции. Конъюкция Р(Х)  Q(X) –это предикат R (X) = Р(Х)  Q(X), который истинен для тех объектов а из М, для которых истинны оба предиката P(X) и Q(X). Аналогично определяется дизъюнкция P(X)  Q(X): D(X) = P(X)  Q(X): D(X). Так же определяется отрицание: N(X) =  Р(Х) – предикат на М, истинный для тех и только для тех а из М, для которых Р(Х) ложен.

Определение алгебры высказываний над предикатами вполне естественно. Их общая схема такова: Пусть ⌂ - какая-нибудь операция алгебры высказываний. Тогда он определяет операциюнад предикатами: R ≡ P(X) ⌂ Q(X). Ведь предикат P(X) определен, если для вского объекта а из М установлено, будет R(a) значением и или л. А это устанавливается по значениям истинности предикатов P(a) и Q(a). Пусть, например, P(X) – предикат –свойство быть инженером, Q(X) – предикат-свойство быть служащим авиакомпании, то P(X)  Q(X) обозначает свойство быть служащим авиакомпании в качестве инженера.

Операции логики высказываний над многоместными предикатами определяется вполне аналогично.

Таким образом, применяя к некоторым исходным предикатам допустимые операции, можно строить новые предикаты.

В алгебре предикатов дополнительно к указанным выше операциям логики высказываний вводят новые операции: квантор общности () и квантор существования (). Они соответствуют по смыслу понятиям все (для каждого, для всех) и существует (некоторый, найдется).

Пусть Р(Х) – какой-нибудь предикат, Тогда квантор общности – это операция, которая сопоставляет ему высказывание «Все Х обладают свойством Р(Х)». Это высказывание записывается так:

 (Х) Р(Х)

Квантор существования является двойственным по отношению к квантору общности. Он используется для конструкции высказываний вида: существует такое Х, что Р от Х. Такое высказывание записывается так:

 (Х) Р(Х).

С помощью квантора существования можно легко построить высказывания типа « Некоторые Р суть Q ». Например, « Некоторые служащие - эксперты»

Квантор существования обобщает операцию дизъюнкции, а квантор общности – операцию конъюкции.

Предикаты применяют для конструирования выражений и описания взаимосвязей между объектами проблемной области. Пусть Р есть к-местная предикатная переменная, а хк – ее аргументы. Тогда выражение Р (t1 , t2 , …, tn) называют элементарной формулой. При этом всегда должен быть задан порядок следования аргументов. Например, предложение « Москва – столица России » может быть записано следующим способом:

СТОЛИЦА (Москва, Россия).

Предложение « Все мыши - серые» удобно записать так:

(х )Мышь(х)  Цвет (х, Серый)

Суждение вида « Если некоторый объект х обладает свойством S (т.е. S (x) истинно), то у него имеется и свойство Р (т.е. Р(х) истинно)» в терминах логики предикатов можно представить следующим образом: (х) (S (x)  P (x)).

Данное утверждение читается так: « Для всех х, если х обладает свойством S, то х обладает свойством Р»

Например, в базу знаний мы хотим поместить утверждение: «Если направление и сила ветра не превышает допустимых значений, посадка самолета разрешается». Очевидно, что утверждения подобного типа укладываются в приведенную выше форму записи:

(х) (S 1(x)  S 2(x)  P(x).)

Здесь х – посадка;

S 1 и S 2 – характеристики ветра;

Р(х) – свойство объекта посадка.

Рассмотрим более сложный пример использования алгебры предикатов при представлении знаний.

Пусть в БЗ требуется поместить понятий предела числовой последовательности и предела функции.

Определение предела последовательности следующее.

Число а называется пределом последовательности (xn ), если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство

│xn – a │ < ε.

Логика предикатов позволяет записать данное определение так:

(ε >0) N Є N )  n Є N ((n>N) │xn – a │ < ε.

Как выразить утверждение, что последовательность (xn ) сходится? Надо указать, что для нее существует предел. Это утверждение формализуется так:

(а) (ε >0)  N Є N )  n Є N ((n>N) │xn – a │ < ε.

Такая запись позволяет легко сформулировать и отрицание существования предела.

Предел функции в некоторой точке х0 определяется аналогично пределу последовательности.

Число А называется пределом функции f(x) при стремлении х к х0, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число  , что при всех х  х0, удовлетворяющих неравенству │x – х0│<, будет выполняться и неравенство

│f(x) – A│< ε.

Пользуясь кванторами всеобщности и существования данное определение можно представить так:

А  (ε >0) (>0) (x) ( х  х0 )  (│x – х20│<) │f(x) – A│< ε.

В теории предикатов наряду с понятием элементарная формула вводят понятие правильно построенной формулы. Формула считается правильно построенной, если при ее конструировании соблюдались правила вывода. В математической логике дается обоснование правил, обеспечивающих получение правильно построенных формул.

Остановимся еще на одном понятии, на понятии общезначимой формулы.

Формула называется общезначимой, если она истинна при любой интерпретации. Если же она обладает противоположным свойством, то это не выполнимая формула.

В общем случае не существует метода доказательства общезначимости формулы. Это является существенным недостатком логических моделей представления знаний. В то же время логические модели знаний позволяют применять единообразную процедуру получения вывода. Правда, данное достоинство влечет за собой и следующий недостаток, а именно – сложность использования специфики проблемной области. Пожалуй, определяющим недостатком является невозможность обработки нечетких знаний, Сегодня не видно, как можно применять нечеткую логику при получении вывода, если знания представлять в виде логической модели.

Лекция 9