Алгебра высказываний

Алгебра высказываний строится так же, как и другие разделы математики. Множество некоторых объектов вместе с их свойствами и отношениями между ними принимается как базовый класс. С помощью заданного множества операций над базовыми объектами строятся другие классы объектов.

В качестве исходных объектов алгебры высказываний выступают простые высказывания. Предполагается, что каждое простое высказывание одним и только одним из двух свойств: оно может быть либо истинно, либо ложно. Сами понятия простое высказывание, истинно и ложно принимаются как номинальные, или интуитивные. Внутри алгебры они не уточняются. Вообще, многие математические высказывания считаются простыми. При этом полагают, что они могут быть либо истинными, либо ложными.

Простые высказывания служат исходными объектами алгебры высказываний. Как уже было отмечено, в алгебре высказываний не дается строгого определения понятий простых высказываний, истинности и ложности. Это так называемые первичные, интуитивные понятия. При этом предполагают, что истинность (ложность) есть свойство высказываний, Поэтому сложные высказывания, построенные из простых, тоже обладают этим свойством.

Рассмотрим алфавит, в который входят множество простых высказываний, множество логических связок и множество дополнительных символов – скобок. Простые высказывания называют пропозициональными переменными. Сложные высказывания строятся из простых с помощью логических связок.

Понятие формулы алгебры высказываний определяется следующим образом:

1. пропозициональная переменная есть формула;

2. если а и b – формулы, то ( ) а, (а  b), (а  b), (а  b) – формулы;

3. других формул, кроме указанных, – нет.

Будем интерпретировать логические связки как функции, определенные на множестве {и, л} (истина, ложь), со значениями в том же множестве следующим образом.

Отрицание  и = л,  л = и.

Конъюнкция и и = и, и  л = л = л  л = л.

Дизъюнкция и  и = ли = и  л=и, л  л = л.

Импликация и  и = л  и = л  л=и, и  л = л.

Одной из основных задач алгебры высказываний является установления значения истинности сложных высказываний.

Чтобы установить истинность сложного высказывания, его целесообразно рассматривать как функцию от входящих в него простых высказываний. При этом значение истинности сложного высказывания зависит от истинности последних. Другими словами, оно является функцией от значений истинности простых высказываний. Такие функции называют булевыми функциями. Например, функция F(a,b,c) от трех простых высказываний a, b, c может быть такой: (a  b)  (c  a).

Вообще говоря, для построения сложных высказываний достаточно операций , , и , поскольку пользуясь данным связками можно выразить и операцию импликации.

Пусть имеются булевы функции F (х1, х2,…..,хn) и G (х1, х2,…..,хn) от n переменных. Допустимые операциии над ними определяются естественным образом:

 F (t1 , t2 , …, tn),

F (t1 , t2 , …, tn)  G (t1 , t2 , …, tn),

F (t1 , t2 , …, tn)  G (t1 , t2 , …, tn).

Формулу называют выполнимой (опровержимой), если существует такой набор значений переменных, при которых она принимает значение и (л).

Формула называется тождественно-истинной или тавтологией (тождественно-ложной или противоречием), если она принимает значение и (л) при всех наборах значений переменных.

Центральным понятием формальной и математической логики служит понятие логического следования.

Пусть А (t1 , t2 , …, tn) = А и B (t1 , t2 , …, tn) = B – две формулы логики высказываний от переменных t1 , t2 , …, tn. Говорят, что формула B является логическим следствием формулы А, если она истинна для всех наборов значений истинности, для которых А истинна.

Сложное высказывание принимает значение истинности или ложности в зависимости от истинности или ложности входящих в него простых высказываний. В формулах А и B простые высказывания выступают в качестве переменных. Ясно, что истинность формул А и B зависит от значений их переменных, т.е. при одном наборе значений переменных они будут истинными, при другом – ложны. Нас итересует вопрос, истинна ли формула В на множестве наборах, на которых истинна формула А. Если это так, то ее и называют логическим следствием формулы В.

Понятно, что множество наборов, для которых А истинно, стдержится в множестве наборов, для которых истинна формула В. В самом деле, формула В может быть истинна не только для тех наборов, для которых истинна формула А.

Приведем пример логического следования.

Пусть имеются две формулы: А = ((x  y)  z) и В = (x  ). Рассмотрев их таблицы истинности, можно заключить, что формула В является логическим следствием формулы А.

Не трудно увидеть, что всякая формула является логическим следствием тождественно-ложной формулы. Также очевидно, что тождественно-истинная формула является логическим следствием любой формулы.

Чтобы придать формуле содержательный смысл, ее интерпретируют как утверждение, относящееся к конкретной предметной области. С этой целью каждому элементу формулы ставят в соответствие какой-то элемент из предметной области. Вполне естественно, что значение истинности формулы становится зависимым от ее интерпретации.

Выяснение истинности или ложности формулы на заданном множестве интерпретации является рснрвной задачей математической логики. Важное значение при этом приобретает выявление необходимых и достаточных условий логического следствия для формул от одних и тех же переменных.

Установлено, что формула B (t1 , t2 , …, tn) является логическим следствием формулы А (t1 , t2 , …, tn) в том и только в том случае , когда тождественно- истинна формула А  В.

Лекция 8

Логические модели