4241, 4242(ТАУ-без MATLAB)_1 / Романовский. ТАУ. ЛабПр. Ч.1 [2011]

т. е. как время, по достижении которого сигнал переходной характеристики перестаёт выходить за пределы построенного коридора. Для этого он также может воспользоваться мышью.

4.2.ЗАДАНИЯ

1.В таблице Табл. 2.1 по вариантам приведены две исходных ПФ. По ним в предыдущей работе создавались два lti-объекта W1 и W2 ,

представленных в ss-форме. Для объектов W1 и W2 выполнить по-

строение переходной характеристики и импульсной переходной характеристики.

2. Для объектов W1 и W2 выполнить построение реакций на не-

нулевые начальные условия. Вектор начальных значений переменных состояния в обоих случаях задать состоящим из единиц.

3. Для объектов W1 и W2 выполнить построение реакций на сле-

дующие периодические сигналы: синусоидальный входной сигнал, периодический прямоугольный входной сигнал, периодическую последовательность коротких входных импульсов. При этом период указанных сигналов принять примерно в 10 раз больше времени переходного процесса. Вектор начальных значений переменных состояния во всех случаях считать состоящим из нулей (нулевые начальные условия).

4. Для объектов W1 и W2 с помощью визуального средства LTI-

Viewer определить следующие показатели переходных характеристик: максимальное значение переходной характеристики, установившееся значение переходной характеристики, время переходного процесса (при ширине коридора, равной ± 2% ).

4.3.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что такое временная характеристика?

2.Какие бывают типовые входные воздействия?

3.Переходная характеристика и импульсная переходная характеристика.

4.Как различаются в реальных системах по внешнему виду графики ПХ для задающего и возмущающего воздействий?

5.Как построить в среде MATLAB переходную характеристику и импульсную переходную характеристику?

6.Как построить в среде MATLAB реакцию системы на ненулевые начальные условия?

7.Как строить в среде MATLAB реакции системы на произвольные входные воздействия.

-41 -

8.Основные возможности визуального средства LTI-Viewer.

9.Какие показатели можно отображать при построении ПХ в визуальном средстве LTI-Viewer?

- 42 -

Работа №5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

Цель лабораторной работы: получить навыки построения в командном окне среды компьютерного моделирования MATLAB различных частотных характеристик динамических систем автоматического управления.

5.1.ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ

5.1.1.Вводная информация

Помимо временных характеристик другой важной разновидностью динамических характеристик являются частотные характеристики (ЧХ).

Частотные характеристики – это динамические характеристики, определяющие динамические свойства объекта или системы в частотной области.

Внастоящей работе рассматриваются следующие основные ЧХ:

1.Вещественная частотная характеристика (ВЧХ).

2.Мнимая частотная характеристика (МЧХ).

3.Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ).

4.Фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

5.Амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ).

6.Логарифмическая АФЧХ (ЛАФЧХ).

Пусть W ( p) - ПФ некоторой динамической системы.

Из теории функций комплексного переменного известно, что оператор p является независимой комплексной переменной и может быть

представлен в виде: p = jω . Здесь ω является независимой вещест-

венной переменной, называемой в технике угловой частотой. Иногда её называют просто частотой, но при этом следует помнить, что единицей измерения для неё является радс.

ПФ системы, в которой произведена замена оператора p на jω ,

называется частотной передаточной функцией (ЧПФ) этой системы.

В результате упомянутой замены переменных получится ЧПФ динамической системы W ( jω) . Её можно представить в алгебраиче-

ской и показательной формах в следующем виде:

- 43 -

Здесь P(ω) – ВЧХ системы, Q(ω) – МЧХ системы, A(ω) – АЧХ системы и ϕ(ω) – ФЧХ системы.

Таким образом: вещественная частотная характеристика – это вещественная часть ЧПФ динамической системы, а мнимая частотная характеристика – это мнимая часть ЧПФ динамической системы:

P(ω) = Re(W ( jω)) , Q(ω) = Im(W ( jω)) .

ВЧХ и МЧХ в совокупности образуют математическую систему уравнений, которая полностью определяет динамические свойства системы:

P = P(ω) (5.2) .

Q = Q(ω)

Из (5.1) также видно, что АЧХ – это модуль ЧПФ динамической системы, а ФЧХ – аргумент ЧПФ динамической системы:

A(ω) = W ( jω) ³ 0 , ϕ(ω) = arg(W ( jω)) .

АЧХ и ФЧХ в совокупности также образуют математическую систему уравнений, которая также полностью определяет динамические свойства системы управления:

Формулы перехода от (5.2) к (5.3) и обратно имеют вид:

Существуют также и другие определения АЧХ и ФЧХ, содержащие в себе явно выраженный физический смысл этих характеристик.

Амплитудно-частотная характеристика – это отношение ам-

плитуды гармонического сигнала на выходе системы к амплитуде гармонического сигнала на входе системы, представленных в виде функций от частоты этих сигналов:

A(ω) = Ay (ω) . Au (ω)

Фазо-частотная характеристика – есть разность фазовых сдви-

гов гармонических сигналов на выходе и входе системы, представлен-

- 44 -

ных в виде функций от частоты этих сигналов:

ϕ(ω) = ϕ y (ω) − ϕu (ω) .

Амплитудно-фазо-частотная характеристика (другое название

– частотный годограф Найквиста) – это годограф ЧПФ динамиче-

ской системы на комплексной плоскости, где по оси абсцисс откладывается ВЧХ системы, а по оси ординат – МЧХ системы, умноженная на мнимую единицу.

АФЧХ также полностью определяет динамические свойства системы.

Логарифмическая амплитудно-фазо-частотная характеристика

(другое название – диаграмма Боде) представляет собой совокупность из двух определённым образом построенных на плоскости графиков: логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) и логарифмической фазо-частотной характеристики (ЛФЧХ).

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ в качестве оси абсцисс используется логарифмическая ось частот lgω , на которой откладываются

фактические значения частот ω .

Т. к. lg 0 = −∞ , то значение ω = 0 радс на этой оси находится в

− ∞ .

Декадой на этой оси частот называется интервал между двумя соседними частотами ω1 и ω2 , для которых справедливо равенство:

ω2 ω1 = 10 .

ЛАЧХ определяется по формуле L(ω) = 20 lg A(ω) , измеряется в

децибелах ( дБ ) и строится относительно логарифмической оси частот.

ЛФЧХ представляет собой обычную ФЧХ, но построенную также относительно логарифмической оси частот.

Математически ЛАФЧХ представляет собой систему уравнений, которая также полностью определяет динамические свойства системы управления:

значения из диапазона (−∞, + ∞) . При этом в диапазоне частот (−∞, 0] любая из этих ЧХ представляет собой зависимость, в определённом

- 45 -

смысле симметричную по отношению к зависимости ЧХ в диапазоне частот [0, + ∞) , т. е. являющуюся её зеркальным отражением.

5.1.2.Построение частотных характеристик

Всовременной технической практике, как правило, нет необходимости выполнять построение ВЧХ, МЧХ АЧХ и ФЧХ динамических объектов и систем на плоскости, где ось частот изображается в линейном масштабе. Смысл в построении таких характеристик обычно возникает в случае, когда ось частот изображается в логарифмическом масштабе. Но в этом случае АЧХ и ФЧХ превращаются в ЛАЧХ и ЛФЧХ (получается ЛАФЧХ), а ВЧХ и МЧХ в совокупности могут рассматриваться как АФЧХ.

По указанной причине в среде MATLAB отсутствуют специальные функции для построения ВЧХ, МЧХ АЧХ и ФЧХ в обычном смысле, т. е. в виде графиков, в которых ось частот изображается в линейном масштабе. Вместо этого среда MATLAB содержит средства для построения АФЧХ, ЛАФЧХ, а также некоторых других ЧХ, имеющих более специфичное применение и поэтому здесь не рассматриваемых.

Тем не менее, возможность построить в компьютерной среде MATLAB графики ВЧХ, МЧХ АЧХ и ФЧХ в обычном смысле, естественно, имеется. Это можно сделать разными способами. Пожалуй,

простейшим способом будет применение функции freqresp(). Ниже приведён пример её вызова для заранее созданного скалярного ltiобъекта W1.

»H = freqresp(W1, w);

Впримере функция принимает в качестве своих аргументов помимо самого lti-объекта переменную w, представляющую собой век- тор-строку или вектор-столбец, содержащий набор значений угловой частоты, для которых нужно вычислить значения ЧПФ, соответст-

вующей lti-объекту W1.

Сам вектор угловых частот заранее создать очень просто. Ниже приведён пример создания такого вектора.

» w = -1000.0: 1.0: 1000.0;

Вычисленные значения ЧПФ сохраняются в трёхмерном массиве H. Трёхмерным он является в связи с тем, что функция freqresp() может использоваться не только со скалярными lti-объектами, но так-

- 46 -

же и с векторными lti-объектами, для которых сама ЧПФ является матричной функцией.

В настоящей работе не рассматриваются векторные динамические системы. Поэтому здесь после вычисления многомерного массива H достаточно просто изъять из него вектор вычисленных числовых значений ЧПФ, соответствующих заданному вектору числовых значений угловой частоты. Сделать это можно следующей командой:

» HH = H(:);

Суть данной команды здесь не разъясняется, т. к. это требует разъяснения принципов работы в среде MATLAB с многомерными массивами, что выходит за рамки рассматриваемых в практикуме вопросов.

Вектор HH содержит комплексные числа, представляющие собой точки годографа АФЧХ для вектора частот w. Выделить из него вектор значений ВЧХ и вектор значений МЧХ очень просто:

Далее можно вычислить вектор значений АЧХ и вектор значений ФЧХ:

Здесь применяются операции языка MATLAB «.^» и «./». Операция «.^» используется для выполнения поэлементного возведения в степень числа 2 векторов Re и Im (т. е. каждый элемент вектора Re и каждый элемент вектора Im возводится в квадрат), а операция «./» используется для поэлементного деления вектора Im на вектор Re (т. е. в результате выполнения данной операции формируется вектор, каждый элемент которого представляет собой отношение соответствующих элементов вектора Im и вектора Re).

Построить графики ВЧХ, МЧХ, АЧХ и ФЧХ можно при помощи вызова функции plot(). Например, приведённая ниже команда выполняет построение графика ВЧХ для скалярного lti-объекта W1.

» plot(w, Re); % Построение графика ВЧХ.

Для построения АФЧХ и ЛАФЧХ используются, соответственно, функции nyquist() и bode(). Ниже приведены примеры вызова

- 47 -

этих функций для скалярного lti-объекта W1.

Для построения АФЧХ, ЛАФЧХ, а также некоторых другим ЧХ, которые здесь не рассматривались, можно также использовать средст-

во LTI-Viewer.

5.2.ЗАДАНИЯ

1.В таблице Табл. 2.1 по вариантам приведены две исходных ПФ. По ним в предыдущих работах создавались два lti-объекта W1 и W2 ,

представленных в ss-форме. Для объектов W1 и W2 выполнить по-

строение в среде MATLAB следующих ЧХ: ВЧХ, МЧХ, АЧХ, ВЧХ.

2. Для объектов W1 и W2 выполнить построение АФЧХ и

ЛАФЧХ. Для каждого объекта провести анализ всех построенных ЧХ на предмет их соответствия друг другу.

5.3.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что такое частотная характеристика?

2.Какие бывают частотные характеристики?

3.Что такое частотная передаточная функция?

4.Что такое вещественная частотная характеристика (ВЧХ)?

5.Что такое мнимая частотная характеристика (МЧХ)?

6.Что такое амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)?

7.Что такое фазо-частотная характеристика (ФЧХ)?

8.Формулы перехода между связками ВЧХ-МЧХ и АЧХ-ФЧХ.

9.Физический смысл АЧХ и ФЧХ.

10.Что такое амплитудно-фазо-частотная характеристика и логарифмическая амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ и ЛАФЧХ)?

11.Что такое декада?

12.Как строятся логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) и логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ)?

13.Где на логарифмической оси частот ω , используемой при построении ЛАФЧХ (ЛАЧХ и ЛФЧХ), расположено значение угловой частоты ω = 0 радс?

14.Связь между АФЧХ и ЛАФЧХ.

15.В чём заключается свойство симметричности частотных характеристик?

-48 -

16.Как в среде MATLAB выполнить построение ВЧХ, МЧХ, АЧХ и ФЧХ?

17.Как в среде MATLAB выполнить построение графиков характеристик АФЧХ и ЛАФЧХ?

- 49 -

Работа №6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ СРЕДСТВАМИ ПАКЕТА SIMULINK

Цель лабораторной работы: получить навыки организации и проведения процесса имитационного моделирования на ЭВМ различных линейных непрерывных динамических систем управления средствами пакета Simulink среды MATLAB.

6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИМИТАЦИОННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ СРЕДСТВАМИ ПАКЕТА SIMULINK

6.1.1. Вводная информация

Суть процесса имитационного моделирования на ЭВМ заключается в создании в оперативной памяти ЭВМ условий, позволяющих воспроизвести процесс движения системы (изменения её внутренних переменных с течением времени). В результате по существу в памяти ЭВМ создаётся виртуальный аналог моделируемой динамической системы, над которым можно проводить различные эксперименты, как с реально существующей системой.

Преимущество данного подхода заключается в том, что при анализе и синтезе динамической системы отпадает необходимость в создании реально действующего оригинал-макета этой системы. Такая возможность позволяет сделать гораздо более дешёвым весь процесс разработки динамической системы.

Для организации процесса имитационного моделирования можно применять различные программные средства. Можно просто разработать программу имитационного моделирования системы на какомнибудь алгоритмическом языке программирования. Однако проще всего воспользоваться каким-нибудь готовым программным средством визуального имитационного моделирования динамических систем. Среда MATLAB в своём составе содержит пакет Simulink, которых как раз и является таким средством.

6.1.2. Проведение процесса имитационного моделирования

Разработка имитационных моделей динамических объектов и систем (далее S-моделей) при помощи пакета Simulink основана на применении средств визуального моделирования. Эти средства позволяют собирать системы из готовых «кирпичиков» (блоков), как конструктор, визуально наблюдая за тем, что в результате получается.

- 50 -