4241, 4242(ТАУ-без MATLAB)_1 / Романовский. ТАУ. ЛабПр. Ч.1 [2011]
.pdfContinuous-time system.
»E = [1, 2; 3, 1];
»W2 = dss(A, B, C, 0, E);
Как видно из примера, для моделей с нулевой матрицей D (такой случай на практике встречается довольно часто) можно вместо матрицы D использовать нулевое значение, как краткую форму записи нулевой матрицы соответствующих размеров.
В среде MATLAB имеется возможность преобразования ltiобъектов из tf-формы и zpk-формы в ss-форму и наоборот. Пусть имеется lti-объект с именем Sys, представленный в любой из трёх основных форм описания. Тогда можно выполнять следующие действия:
» Wtf = tf(Sys); |
% Преобразование к tf-форме. |
|||
» |
Wzpk = zpk(Sys); |
% Преобразование |
к |
zpk-форме. |
» |
Wss = ss(Sys); |
% Преобразование |
к |
ss-форме. |
Следует отметить, что преобразование lti-объектов из tf-формы и из zpk-формы к ss-форме является неоднозначным и зависит от выбора переменных состояния.
Также следует принимать во внимание следующие обстоятельст-
ва:
1. Три формы lti-моделей не в равной степени пригодны для численных вычислений. Так, точность вычислений при применении ltiобъектов высокого порядка, представленных в tf-форме, может оказаться низкой. Рекомендуется работать с lti-объектами, представленными в ss-форме, а tf-форму применять только для иллюстрации или интерпретации результатов. Также для повышения точности расчётов рекомендуется объекты, представленные в ss-форме, подвергать процедуре масштабирования с помощью диагональной матрицы (функция ssbal()) либо процедуре нормализации.
2.Преобразования к tf-форме могут сами по себе привести к потере точности. В результате нули и полюсы систем могут заметно отличаться от параметров исходных моделей, представленных в zpkформе или в ss-форме.
3.Преобразования lti-объектов, изначально представленных в ssформах, в другие формы с последующим обратным преобразованием также могут приводить к потере точности. Поэтому общая рекомендация заключается в том, чтобы избегать взаимообратных преобразований какого-либо lti-объекта, изначально представленного в ss-форме.
Часто в процессе анализа системы требуется определять некото-
-31 -
рые важные характеристики соответствующего ей lti-объекта, такие как полюсы, нули, коэффициент передачи и пр. Для lti-объекта, представленного в ss-форме, это может вызывать некоторые затруднения (в отличие от lti-объектов, представленных в tf-форме и в zpk-форме). В среде MATLAB имеется возможность легко отыскать указанные характеристики для lti-объекта, представленного в любой форме. Пусть имеется такой объект с именем Sys. Тогда его полюсы, нули и коэффициент передачи можно определить так:
» P1 |
= pole(Sys); |
% Полюсы объекта Sys. |
|
» P2 |
= eig(Sys); |
% То же самое. |
|
» Z = tzero(Sys); |
% Нули объекта Sys. |
||
» G = dcgain(Sys); |
% Коэффициент передачи |
||
|
|
% |
объекта Sys. |
» [P, Z] = pzmap(Sys); |
% Полюсы (P) и нули (Z) |
||
|
|
% |
объекта Sys. |
» pzmap(Sys); |
% Построение графика |
||
%с изображением полюсов
%и нулей объекта Sys.
3.1.3.Создание более сложных lti-объектов
Созданные в ss-форме lti-объекты также можно использовать в качестве строительного материала при создании более сложных объектов и систем, причём совместно с lti-объектами, представленными в tf-форме или в zpk-форме. При этом созданные lti-объекты также можно соединять между собой последовательно, параллельно и встречно-параллельно. Примеры:
» W3 |
= W1 * W2; |
% Создание последовательного |
|
|
|
% |
соединения объектов |
|
|
% |
W1 и W2. |
» W4 |
= W1 + W2; |
% Создание параллельного |
|
|
|
% |
соединения объектов |
|
|
% |
W1 и W2. |
» W5 |
= feedback(W1, W2); |
% Создание встречно- |
|
|
|
% |
параллельного соединения |
|
|
% |
объектов W1 и W2 |
|
|
% |
с отрицательной обратной |
|
|
% |
связью. |
Среда MATLAB считает ss-форму наиболее предпочтительной среди всех форм lti-объектов, т. к. расчёты над моделями, представленными в ss-форме, будут наиболее точными. Поэтому если среди исходных lti-объектов один будет представлен в ss-форме, то и резуль-
- 32 -
тирующий lti-объект также окажется представленным в ss-форме.
3.2.ЗАДАНИЯ
1.В таблице Табл. 2.1 (см. предыдущую работу) по вариантам приведены две исходных ПФ. По ним в предыдущей работе были получены два lti-объекта (один в tf-форме и один в zpk-форме). По этим двум lti-объектам создать в среде MATLAB два lti-объекта W1 и W2 ,
представленных в ss-форме (путём преобразования форм, изложенного выше).
2. Вычислить полюсы, нули и коэффициенты передачи представленных в ss-форме lti-объектов W1 и W2 . Для каждого из lti-объектов
W1 и W2 построить график с изображением полюсов и нулей этого
объекта.
3. Создать ещё три lti-объекта W3 , W4 и W5 , представляющие со-
бой последовательное, параллельное и встречно-параллельное соединение объектов W1 и W2 . Для каждого из них построить ПХ, АФЧХ и
ЛАФЧХ. Сравнить полученные графики с графиками, полученными в предыдущей работе.
3.3.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Что представляет собой модель системы управления в пространстве состояний?
2.Какова структурная схема модели системы управления в пространстве состояний?
3.Что представляет собой lti-объект?
4.Способы создания lti-объектов с применением аппарата пространства состояний.
5.Как осуществить преобразование lti-объектов из tf-формы и zpk-формы в ss-форму и наоборот?
6.Причины, по которым ss-форма является наиболее предпочтительной формой описания lti-объектов.
7.Как определить полюсы, нули и коэффициент передачи ltiобъекта?
8.Как создавать на основе lti-объектов более сложные системы?
9.Как построить в среде MATLAB по lti-объекту переходную характеристику, амплитудно-фазовую частотную характеристику, логарифмическую амплитудно-фазовую частотную характеристику?
- 33 -
Работа №4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
Цель лабораторной работы: получить навыки построения в командном окне среды компьютерного моделирования MATLAB различных временных характеристик динамических систем управления; получить навыки по оценке показателей качества переходных характеристик этих систем.
4.1.ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ
4.1.1.Вводная информация
Временные характеристики динамических объектов и систем представляют собой одну из важнейших разновидностей динамических характеристик. Временная характеристика некоторого объекта - это его динамическая характеристика, представленная во временной области.
Временная характеристика скалярного объекта (т. е. объекта с одним входом и с одним выходом) представляет собой скалярную функцию от времени, являющуюся реакцией этого объекта на входное воздействие некоторой определенной формы и величины. В более общем случае, для векторного объекта (т. е. объекта с несколькими входами и с несколькими выходами), временная характеристика представляет собой уже матричную функцию от времени. Каждый элемент такой матричной функции является скалярной функцией от времени, представляющей собой реакцию объекта по некоторому определенному выходу на входное воздействие заданной формы и величины, подаваемое на некоторый определённый вход.
Исследования переходных процессов в lti-объектах во временной области обычно выполняются только для нескольких конкретных типов входных сигналов и возмущений. Чаще всего в качестве таких типовых входных сигналов используются: единичное ступенчатое воздействие (ЕСВ), идеальное импульсное воздействие, гармоническое воздействие.
ЕСВ является наиболее распространенным в теории автоматического управления. Аналитически ЕСВ определяется следующим образом:
- 34 -
0, t < 0 |
. |
1(t) = |
|
1, t ³ 0 |
|
Достоинствами ЕСВ являются: простота реализации на практике и простота математического описания.
Идеальное импульсное воздействие аналитически определяется по формуле:
+ ∞, t = 0 |
. |
δ (t) = |
|
0, t ¹ 0 |
|
Идеальное импульсное воздействие нельзя реализовать на практике. Можно лишь реализовать импульс достаточно большой величины и достаточно малой ширины. Однако достоинством его также является простота математического описания.
Примечательным является также ещё и то, что идеальное импульсное воздействие представляет собой производную от ЕСВ. Поэтому справедливы следующие равенства:
δ (t) = d 1(t) , ∫δ (t)dt = 1. dt
Реакция объекта на ЕСВ называется переходной характеристикой. Реакция объекта на идеальное импульсное входное воздействие называется весовой характеристикой (другое название - импульсная переходная характеристика). Реакции на гармонические входные воздействия обычно используются при определении частотных характеристик.
В реальных системах графики ПХ для задающего и возмущающего воздействий по внешнему виду существенно различаются. На Рис. 4.1 изображены типичные графики ПХ для задающего (а) и для возмущающего (б) воздействий. Здесь графики 1 соответствует апериодическому переходному процессу, а графики 2 – колебательному переходному процессу.
Из графиков видно, что ПХ для задающего входного воздействия в реальных системах должна иметь установившееся значение выходной переменной, далёкое от нулевого значения ( hu (¥) ¹ 0 ). Также из
графиков следует, что ПХ для возмущающего входного воздействия в реальных системах должна, напротив, иметь установившееся значение выходной переменной, равное нулю или близкое к нулю ( h f (¥) = 0
или h f (¥) » 0 ).
- 35 -
По виду переходного процесса можно определять такие характеристики системы, как максимальное значение переходной характеристики, установившееся значение переходной характеристики, время переходного процесса, перерегулирование, время первого достижения установившегося значения и пр.
hu (t) |
|
0 |
|
0 |
hu (∞) |
|
t, с |
h f (t) |
0 |
0 |
t, с |
Рис. 4.1. Типичные ПХ для задающего (а) и возмущающего (б) воздействий.
4.1.2. Построение временных характеристик
Среда MATLAB (пакет Control System Toolbox) позволяет рассчи-
тывать переходные и импульсные переходные характеристики системы (соответственно функции step() и impulse()), реакции системы на ненулевые начальные условия (функция initial()), а также реакции системы на произвольные входные воздействия (функция
lsim()).
- 36 -
Ниже приведены примеры команд, выполняющих построение переходной характеристики (ПХ) и импульсной переходной характеристики для заранее созданного lti-объекта:
»step(W1);
»step(W1, 10.0);
»t = 0: 0.1: 15.0;
»step(W1, t);
»impulse(W1);
»impulse(W1, 20.0);
»t = 0: 0.2: 25.0;
»impulse(W1, t);
%Построение переходной
%характеристики.
%То же самое.
%То же самое.
%Построение весовой
%характеристики.
%То же самое.
%То же самое.
В примерах команды step(W1) и impulse(W1) выполняют построение характеристик в автоматическом режиме, когда конечное время и шаг моделирования по времени выбираются самой средой автоматически. Иногда в таком режиме результаты получаются неудовлетворительными. В подобных случаях можно пользоваться другими приведёнными в примере способами. Так, способ построения ПХ по команде step(W1, 10.0) позволяет явно задать конечное время моделирования, а способ построения по команде step(W1, t) позволяет задать весь диапазон значений времени от начального до конечного с заданным шагом моделирования. В этом случае заранее следует сформировать вектор-строку или вектор-столбец значений времени подходящего содержания. В примере показан чрезвычайно удобный и очень распространённый способ формирования в среде MATLAB векторов-строк, хранящих диапазоны значений с заданным шагом.
Функция initial() позволяет строить реакции систем на ненулевые начальные условия для моделей, заданных в пространстве состояний. Здесь под начальными условиями понимается начальное значение вектора переменных состояния системы. Примеры использования этой функции для заранее созданного lti-объекта, содержащего 3 переменных состояния:
» x0 = [1.0, 1.0, 1.0]; |
% |
Начальное значение |
|
% |
вектора состояния. |
- 37 -
»initial(W2, x0);
»initial(W2, x0, 10.0);
»t = 0: 0.1: 15.0;
»initial(W2, x0, t);
%Построение реакции.
%То же самое.
%То же самое.
Здесь аналогично предыдущему примеру демонстрируется три способа вызова функции initial().
Для получения реакции системы на произвольные входные воздействия применяется функция lsim(). Ниже приведены примеры использования функции lsim() для скалярных lti-объектов W1 и W2 (объект W2 должен быть представлен ss-моделью):
» lsim(W1, u, t); |
% Построение реакции. |
»x0 = [1.0, 1.0, 1.0]; % Начальное значение вектора
%состояния.
» lsim(W2, u, t, x0); |
% |
Построение реакции с учётом |
|
% |
начального состояния. |
Здесь переменные t и u задают входной сигнал и представляют собой, соответственно, вектор значений времени и вектор значений входного сигнала в эти моменты времени. Естественно, векторы t и u должны иметь одинаковые размеры. Формировать их можно разными способами. Удобным для новичков способом является использование вспомогательной функции gensig(). Эта функция генерирует различные типы периодических входных сигналов: синусоида, периодический прямоугольный сигнал, периодическая последовательность коротких импульсов. Примеры вызова функции gensig():
» [u, t] = gensig('sin', 1.0); |
% Синусоида с периодом |
||
|
% |
1 |
секунда. |
» [u, t] = gensig('square', 2.0); |
% Прямоугольный сигнал |
||
|
% |
с периодом |
|
|
% |
2 |
секунды. |
» [u, t] = gensig('pulse', 1.0); |
% Импульсы с периодом |
||
|
% |
1 |
секунда. |
Дополнительно при вызове функции gensig() можно указывать конечное время формирования сигнала и шаг изменения времени. Например:
- 38 -
» [u, t] = gensig('sin', 2.0, ... |
% Синусоида с периодом |
|
10.0, 0.01); |
% |
2 секунды, конечное |
|
% |
время – 10 секунд, |
|
% |
шаг моделирования |
|
% |
по времени – |
|
% |
0.01 секунды. |
Построить полученный в результате график можно при помощи функции plot():
» plot(t, u);
Функция plot() имеет довольно широкие возможности по построению разнообразных графиков. Подробнее о ней и о других функциях построения графиков см., например, в [3, 5].
Сформированные векторы t и u можно непосредственно передать в функцию lsim() для построения реакций.
Среда MATLAB в своём составе имеет визуальное средство для исследования lti-объектов, называемое LTI-Viewer. Внешний вид окна визуального средства LTI-Viewer приведён на Рис. 4.2.
Рис. 4.2. Внешний вид окна визуального средства LTI-Viewer
всреде MATLAB v.5.2.
-39 -
Для формирования в среде MATLAB окна средства LTI-Viewer следует в её командном окне ввести команду:
» ltiview;
Средство LTI-Viewer позволяет строить множество различных характеристик lti-объектов. В том числе оно позволяет строить основные временные характеристики. На Рис. 4.2 показан пример построения ПХ для некоторого заранее созданного lti-объекта.
Из Рис. 4.2 видно, что в окне при построении ПХ можно отобразить следующие показатели: максимальное значение переходной характеристики (максимум переходного процесса – Peak Response), время переходного процесса (Setting Time), время нарастания переходной характеристики (Rise Time), установившееся значение переходной характеристики (Steady State). Наведение указателя мыши на соответствующие точки на графике при одновременном нажатии левой кнопки мыши позволяет увидеть на экране точные значения соответствующих показателей. По значениям этих показателей можно оценить многие показатели качества переходного процесса.
Через меню окна средства LTI-Viewer доступна настройка его режимов работы. Так, например, по умолчанию время переходного процесса в окне LTI-Viewer определяется при построении коридора относительно установившегося значения переходной характеристики шириной ± 2% от этого же установившегося значения переходной характеристики и оценивается как время, по достижении которого сигнал переходной характеристики перестаёт выходить за пределы построенного коридора. При необходимости пользователь может выбрать другую ширину коридора, например, ± 1% или ± 5% от установившегося значения переходной характеристики.
Следует отметить, что средство LTI-Viewer корректно определяет время переходного процесса для случая, когда установившееся значение переходной характеристики отлично от нуля.
Если установившееся значение переходной характеристики оказывается равно нулю или близко к нулю, то нет смысла классически рассчитывать время переходного процесса, применяя коридор с шириной, заданной в процентах от установившегося значения переходной характеристики (т. к. этот коридор окажется бесконечно мал или чрезвычайно мал). Поэтому в данном случае средство LTI-Viewer лишь строит коридор заданной в процентах ширины от единичного значения (от единицы), причём строит относительно нулевого значения переходной характеристики (относительно нуля). Пользователь же в этом случае может оценить время переходного процесса как обычно,
- 40 -