4241, 4242(ТАУ-без MATLAB)_1 / Романовский. ТАУ. ЛабПр. Ч.1 [2011]

Работа №2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Цель лабораторной работы: получить навыки создания в командном окне среды MATLAB моделей объектов с использованием аппарата передаточных функций.

2.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ LTI-ОБЪЕКТАХ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ В ВИДЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

2.1.1. Вводная информация

Среда MATLAB в своём составе имеет пакет Control System Toolbox, предназначенный для работы с линейными динамическими моделями непрерывных и дискретных систем, описываемых дифференциальными и разностными уравнениями с постоянными коэффициентами. Подробное описание возможностей пакета Control System Toolbox приведено в [2].

При помощи данного пакета можно создавать модели линейных стационарных объектов и систем (в среде MATLAB они называются lti-объекты - сокращение от выражения Linear Time Invariant System Object) в форме передаточных функций и передаточных матриц, либо в форме пространства состояний. В настоящей работе рассматривается только моделирование объектов в форме передаточных функций.

Передаточная функция (ПФ) – это математическая модель динамической системы, связывающая один её входной сигнал с одним выходным сигналом и представляющая собой отношение изображения Лапласа выходного сигнала системы к изображению Лапласа входного сигнала системы при нулевых начальных условиях.

Если у системы один входной сигнал и один выходной сигнал (такие системы называются скалярными), то её ПФ, связывающая эти два сигнала, полностью описывает процессы в этой системы и является её полной моделью. В общем случае у системы может быть несколько входов и несколько выходов (такие системы называются векторными). В подобных системах между каждой парой входов и выходов вводится своя ПФ. Вся совокупность этих ПФ образует матрицу, называемую матричной ПФ или передаточной матрицей (ПМ) системы. Именно ПМ векторной системы будет полностью описывать процессы в ней и будет являться её полной моделью.

Для простоты в настоящей работе рассматривается моделирова-

- 21 -

ние только скалярных систем, полные модели которых являются передаточными функциями. Сведения о том, как создаются модели векторных систем, полные модели которых являются передаточными матрицами, приведены, например, в [2].

Т. к. ПФ представляет собой отношение изображения Лапласа выходного сигнала к изображению Лапласа входного сигнала, то она является функцией от оператора Лапласа. Для непрерывных линейных стационарных динамических систем ПФ всегда может быть представлена в следующем общем виде:

Как видно, она представляет собой отношение двух полиномов, являющихся функциями от оператора Лапласа.

Здесь полином знаменателя имеет особое название – характеристический полином ПФ. Корни характеристического полинома называются полюсами системы, а корни полинома числителя называются нулями системы.

При использовании аппарата ПФ математическую модель скалярного объекта в среде MATLAB можно задавать двумя способами:

1. В tf-форме:

2. В zpk-форме нулей, полюсов и коэффициента передачи:

W ( p) = K ( p + zm )( p + zm−1 ) ×K× ( p + z1 ) , ( p + pn )( p + pn−1 ) ×K× ( p + p1 )

где z j ( j = 1, m ) – это нули ПФ, а pi ( i = 1, n ) – полюсы ПФ.

В общем случае и нули, и полюсы системы могут представлять собой не только вещественные, но и комплексные числа.

2.1.2. Создание и преобразование lti-объектов

Ниже приведён пример создания lti-объекта в tf-форме.

» W1 = tf([2, 3, 1], [4, 5, 2, 3])

Transfer function: 2 s^2 + 3 s + 1

-----------------------

4 s^3 + 5 s^2 + 2 s + 3

- 22 -

В примере вместо квадратных скобок с числами можно указывать заранее созданные полиномы (т. е. векторы-строки, содержащие коэффициенты полиномов в порядке убывания их индексов). Пример также демонстрирует, что среда MATLAB для обозначения оператора Лапласа по умолчанию использует символ «s».

Ниже приведён пример создания lti-объекта в zpk-форме.

» W2 = zpk([-5 + i, -5 - i], [-1, -2 + 3i, -2 - 3i, -3], 5)

Zero/pole/gain:

5 (s^2 + 10s + 26)

---------------------------

(s+1) (s+3) (s^2 + 4s + 13)

В примере вместо квадратных скобок с числами можно указывать заранее созданные числовые векторы-строки. Можно также вместо векторов-строк использовать здесь векторы-столбцы.

Содержимое lti-объектов всегда можно преобразовать обратно в числовые векторы. Для этого используются M-функции tfdata() и

zpkdata():

» [P1, P2] = tfdata(W1, 'v')

P1 =

P2 =

» [Zeros, Poles, Gain] = zpkdata(W2, 'v')

Zeros =

-5.0000 + 1.0000i -5.0000 - 1.0000i

Poles =

-1.0000

-2.0000 + 3.0000i -2.0000 - 3.0000i

- 23 -

-3.0000

Gain =

5

Как видно, в случае с функцией zpkdata() результат возвращается в виде векторов-столбцов.

В среде MATLAB имеется возможность преобразования ltiобъектов из tf-формы в zpk-форму и наоборот. Примеры:

»W3 = zpk(W1);

»W4 = tf(W2);

2.1.3. Создание более сложных lti-объектов

Созданные lti-объекты можно использовать в качестве строительного материала при создании более сложных объектов и систем. При этом созданные lti-объекты можно соединять между собой последовательно, параллельно и встречно-параллельно. Ниже приведены примеры, демонстрирующие это.

Среда MATLAB считает zpk-форму более предпочтительной по сравнению с tf-формой, т. к. расчёты над моделями, представленными в zpk-форме будут более точными по сравнению с расчётами над моделями, представленными в tf-форме. Поэтому если среди соединяемых lti-объектов один представлен в zpk-форме, то и результирующий lti-объект окажется представленным в zpk-форме.

Модели объектов и систем, как правило, подвергаются анализу. Обычно в процессе анализа строятся различные характеристики объектов и систем. Характеристики принято делить на временные и частотные. Среди временных чаще всего строится переходная характери-

- 24 -

стика (ПХ), а среди частотных чаще всего строятся амплитуднофазовая частотная характеристика (АФЧХ) и логарифмическая ампли- тудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ). Для построения таких характеристик имеются соответствующие M-функции:

2.2.ЗАДАНИЯ

1.В таблице Табл. 2.1 по вариантам приведены две ПФ W1 и W2 .

По ним создать в среде MATLAB два lti-объекта. При этом для ltiобъекта W1 следует использовать tf-форму, а для lti-объекта W2 следу-

ет использовать zpk-форму.

2. Выполнить предобразование lti-объекта W1 к zpk-форме, а также выполнить преобразование lti-объекта W2 к tf-форме. Провести

анализ результатов.

3. Создать ещё три lti-объекта W3 , W4 и W5 , представляющие со-

бой последовательное, параллельное и встречно-параллельное соединение объектов W1 и W2 . Для каждого из них построить ПХ, АФЧХ и

- 25 -

- 26 -

2.3.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что такое передаточная функция системы управления?

2.Что представляет собой lti-объект?

3.Способы создания lti-объектов с применением аппарата передаточных функций.

4.Как осуществить переход от tf-формы представления моделей динамических систем к zpk-форме и обратно?

5.Как извлекать данные из lti-объектов?

6.Как создавать на основе lti-объектов более сложные системы?

7.Как построить в среде MATLAB по lti-объекту переходную характеристику, амплитудно-фазовую частотную характеристику, логарифмическую амплитудно-фазовую частотную характеристику?

- 27 -

Данному виду соответствует единая структурная схема системы управления, изображенная на Рис. 3.1.

Рис. 3.1. Структурная схема модели линейной системы в форме пространства состояний.

Если система имеет один вход ( m = 1) и один выход ( q = 1), то она

является скалярной. В этом случае её модель принимает следующий развёрнутый вид:

При использовании аппарата пространства состояний математическую модель объекта в среде MATLAB можно задавать двумя способами:

1.В ss-форме, что соответствует модели (3.1).

2.В dss-форме:

- 29 -

где E – некоторая невырожденная квадратная матрица n -го порядка. Модель (3.2), по сути, представляет собой модель (3.1), записан-

ную в неявной форме Коши. Такая модель, конечно же, может быть приведена к форме (3.1) путём умножения 1-го уравнения на матрицу, обратную матрице E . Тем не менее, MATLAB всё же поддерживает эту дополнительную форму (dss-форму) по следующей причине. Дело в том, что если матрица E является плохо обусловленной по отношению к операции обращения, то модель (3.2) преобразовывать к форме (3.1) нецелесообразно из-за большой погрешности вычисления матри-

цы E −1 , и лучше оставить модель объекта в неявной форме Коши (3.2). На практике dss-форма применяется довольно редко.

3.1.2.Создание и преобразование lti-объектов

Внастоящей работе для простоты рассматривается моделирование в пространстве состояний только скалярных систем. Сведения о том, как создаются в пространстве состояний модели векторных систем, приведены, например, в [2].

Ниже приведены примеры создания lti-объектов в ss-форме и в dss-форме (в случае dss-формы вывод результата подавлен).

»A = [0, 1; -5, -2];

»B = [0; 3];

»C = [0, 1];

»W1 = ss(A, B, C, 0)

a =

b =

c =

d =

- 30 -